φ – Число Бога

Можете протестировать самого себя или своих друзей и узнать, какой прямоугольник нравится вам больше всего. На рис. 84 изображено 48 прямоугольников одной высоты, но разной ширины, которая варьируется от 0,4 до 2,5 высоты. Математик Джордж Марковски из Университета штата Мэн пользовался этой коллекцией в своих неофициальных экспериментах. Интересно, займет ли у вас первое место именно золотой треугольник? (Пятый слева в четвертом ряду.)

Рис. 84

Золотая музыка

Пифагор открыл, что разные музыкальные тоны соотносятся между собой как рациональные числа, и этим открытием в наши дни пользуются все струнные квартеты и все симфонические оркестры. Более того, в перечень обязательных образовательных дисциплин, принятый у древних греков и оставшийся неизменным до времен Средневековья, музыка входила как раздел математики, а музыканты сосредотачивали свои усилия на понимании математической основы тонов. Концепция «музыки сфер» – великолепный синтез музыки и математики, и в воображении философов и музыкантов именно она позволяла – пусть и немногим избранным и одаренным – представить себе мироздание как единый величественный замысел. По словам великого римского оратора и философа Цицерона (ок. 106–43 гг. до н. э.) «звук, о котором говорилось выше, производимый необычайно быстрым круговращением всего мира, столь силен, что человеческое ухо не может его воспринять, – подобно тому, как вы не можете смотреть прямо на Солнце, когда острота вашего зрения побеждается его лучами» (Пер. И. Горенштейна). Лишь в XII веке музыка перестала рабски следовать математическим формулам и предписаниям. Однако даже в XVIII веке немецкий философ-рационалист Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) писал: «Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi» («Музыка есть тайное арифметическое упражнение духа, который не знает, что он занят вычислениями»).

Примерно в это же время великий немецкий композитор Иоганн Себастьян Бах (1685–1750) необычайно увлекался разнообразными играми с участием чисел и музыкальных тонов. В частности, он при помощи музыкального шифра закодировал в некоторых своих сочинениях собственную подпись. Согласно старой немецкой системе записи нот буква В соответствовала си-бемоль, а H – си; А – это ля, С – до, поэтому Бах записал свою фамилию ВАСН нотами – си-бемоль, ля, до, си. Кроме того, Бах применял и шифр, основанный на Гематрии. Буквенное обозначение ноты ля – А – соответствует число 1, ноты си – В – числу 2, до – С – числу 3 и т. д., поэтому B-A-C-H = 14, а J-S-B-A-C-H = 41 (поскольку во времена Баха I и J в немецком алфавите были одной и той же буквой). Эрик Альтшулер, математик и большой любитель творчества Баха, в своей увлекательной книге «Баханалия» (Eric Altschuler. Bachanalia, 1994) приводит многочисленные примеры зашифрованных в музыке композитора чисел 14 (ВАСН) и 41 (JSBАCH); он убежден, что Бах сознательно употреблял именно такие последовательности нот. Например, тема первой фуги Баха, в фуге до-мажор из первого тома «Хорошо темперированного клавира», состоит из четырнадцати нот. Кроме того, из двадцати четырех повторений темы в двадцати двух она доведена до завершения, в двадцать третьем – почти до завершения и лишь в одном, четырнадцатом, вообще не завершена. Альтшулер делает вывод, что то, что Бах так увлеченно ставил в своих произведениях шифрованную подпись, сродни пристрастию художников включать автопортреты в создаваемые картины или манеры Альфреда Хичкока исполнять во всех своих фильмах маленькую роль-камео.

Если учесть исторические отношения музыки с числами, на ум сам собой приходит вопрос, играло ли золотое сечение (или числа Фибоначчи) ту или иную роль как в развитии музыкальных инструментов, так и в музыкальных композициях.

Золотое сечение очень часто применяется в конструкции скрипки. Как правило, очертания корпуса скрипки составляют не менее двенадцати кривых – они и создают ее характерные изгибы. Центром самой плоской кривой, внизу, как правило, служит точка, делящая центральную линию скрипки в золотом сечении.