Пятьсот двадцать головоломок

469. Группы костяшек. Известно ли кому-нибудь из моих читателей, что если выложить все 28 костяшек домино в одну линию согласно обычному правилу (6 к 6, 2 к 2, пустышка к пустышке и т. д.), то числа на концах всегда совпадут между собой, так что на самом деле костяшки можно расположить по кругу? Очень старый трюк заключается в том, что, спрятав одну из костяшек (но не берите дубль), вы просите кого-нибудь расположить остальные костяшки в линию, а сами отворачиваетесь. Зрителей поражает, когда вы, не глядя на то, что получилось, называете числа, стоящие на концах. Эти числа совпадают с теми, что стоят на вашей убранной костяшке, поскольку все костяшки образуют круг. Если мы расположим костяшки так, как показано на рисунке, а затем разорвем цепочку на четыре куска, по 7 костяшек в каждом, то можно обнаружить, что сумма очков в первой группе равна 49, во второй 34, в третьей 46 и в четвертой 39.

Мне хотелось бы составить из костяшек 4 группы так, чтобы суммы очков в каждой из групп были равны между собой. Можете ли вы это сделать?

470. Кадрили. Вот одна старая французская головоломка, которая, как мне кажется, заинтересует читателей. Требуется расположить полный комплект из 28 костяшек домино в виде фигуры, изображенной на рисунке, причем все числа должны образовать серию квадратов. Так, в верхних двух строках мы видим квадрат из пустышек, квадрат из троек, квадрат из четверок и квадрат из единиц; в третьей и четвертой строках стоят квадраты из пятерок, шестерок и пустышек и т. д. Это и в самом деле решение данной головоломки, как ее обычно формулируют. Однако я прошу найти такое расположение, которое не содержало бы пустышек на внешней границе. В нашем примере на границе можно найти все числа от пустышки до шестерки включительно.

Можете ли вы найти такое расположение костяшек, при котором все пустышки окажутся внутри?

471. Рамки из домино. Возьмите обычный комплект домино из 28 костяшек и положите обратно в коробку дубль 3, дубль 4, дубль 5 и дубль 6, поскольку они нам не понадобятся. Теперь сложите из оставшихся костяшек 3 квадратные рамки, как показано на рисунке, чтобы суммы очков вдоль каждой из сторон были равны между собой. В приведенном примере эти суммы равны 15. Если это одна из трех рамок, то суммы сторон остальных двух рамок также должны равняться 15. Однако вы можете взять любое число, какое пожелаете; кроме того, нетрудно заметить, что костяшки разрешается складывать не обязательно 6 к 6, 5 к 5 и т. д., как во время игры.

472. Полые квадраты из домино. Каждая игра порождает свои маленькие головоломки. Возьмем, например, следующую головоломку, обязанную своим появлением всем известной игре в домино.

Из 28 костяшек требуется составить 7 полых квадратов, подобных изображенному на рисунке, так, чтобы в любом квадрате суммы очков вдоль каждой из сторон равнялись между собой. У всех 7 квадратов общие суммы очков не обязаны, разумеется, совпадать, и, кроме того, квадрат, приведенный на нашем рисунке, не обязан входить в ваше множество из 7 квадратов.

Читатель, вероятно, легко сумеет составить 6 квадратов разными способами, однако трудности возникнут, когда вы попытаетесь сложить из оставшихся четырех костяшек седьмой квадрат.

473. Последовательности костяшек. У одного мальчика был полный комплект домино вплоть до дубля 9, и он бился над тем, чтобы расположить костяшки в одну линию обычным способом — 6 к 6, 3 к 3, пустышка к пустышке и т. д. Но отец сказал ему:

— Ты пытаешься сделать невозможное; однако если ты разрешишь мне убрать четыре костяшки, то тебе удастся добиться своей цели, а те костяшки, которые я возьму, будут содержать наименьшее число очков, возможное при данных обстоятельствах.

Какие костяшки выбрал отец? Помните, что обычный комплект домино заканчивается дублем 6, однако мы рассматриваем комплект, расширенный вплоть до дубля 9.

474. Квадраты из домино. Составьте из 28 костяшек домино 2 квадрата, как показано на рисунке, чтобы суммы очков вдоль каждой из 8 сторон совпали.

Значение сумм должно быть таким, чтобы головоломка оказалась разрешимой; кроме того, было бы интересно найти пределы, в которых может меняться это значение. Разумеется, мы не обязаны прикладывать костяшки друг к другу согласно обычному правилу — 6 к 6, пустышка к пустышке и т. д.

475. Умножение домино. Четыре костяшки домино можно расположить таким образом, чтобы получилось умножение столбиком, если очки рассматривать как цифры. Головоломка состоит в том, чтобы из 28 костяшек составить 7 таких «столбиков».

Оказывается, сравнительно легко составить 6 столбиков, но с оставшимися четырьмя костяшками ничего не удается сделать. Однако головоломка имеет решение, а его поиски доставят вам удовольствие. Пустышку не разрешается помещать слева ни в произведении, ни в множимом.