Пиксель. История одной точки

Но наивный Фурье — совсем новичок — сразу совершил ошибку, поскольку выбрал максимально неудачное время для прихода в политику. Его блестящие способности к риторике вскоре привели к серьезным неприятностям. Он неблагоразумно использовал свое красноречие, чтобы спасти от казни трех жителей Орлеана. Неблагоразумие заключалось в том, что их включил в список своих врагов Робеспьер, управлявший машиной Террора.

Революционеры тут же освободили Фурье от всех полномочий за пределами Осера. Разочарованный, что не смог послужить делу Республики, он отправился в Париж и добился встречи с самим Робеспьером, чтобы оправдаться. Смелый поступок привел к обратному результату. Попытки помочь орлеанским узникам обеспечили ему место в списке главных врагов Робеспьера. В соответствии с извращенной логикой Революции и несмотря на протесты поддерживавших его граждан Осера, Фурье стал жертвой того самого Террора, которому пытался служить. 17 июля 1794 года его арестовали и бросили в тюрьму. Фактически это означало смертный приговор.

«Я испытал все возможные виды преследований и неудач, — писал он. — Никто из моих противников не подвергался большей опасности, и я единственным из наших соотечественников оказался обречен на неминуемую смерть».

Следующей остановкой, всего через несколько дней, должен был стать Революционный трибунал в Париже, который без особых разбирательств отправил бы Фурье на гильотину. У него имелись веские причины испытывать страх. Он не мог знать, что всего через десять дней — 27 июля, или 9 термидора (по французскому революционному календарю) — Робеспьер падет. Тот, кто требовал больше отрубленных голов и не довольствовался никаким результатом (снова цитируя Вордсворта), сам оказался на гильотине. К счастью для будущего науки и, в частности, для пикселя, отрубленная голова Робеспьера спасла голову Фурье.

Волна

Можно ли было в работе по алгебре 1789 года — той самой, что отвлекла внимание Фурье от Революции, — усмотреть черты будущего великого ученого? Содержались ли в ней предпосылки его великой идеи? Несомненно, работая над ней, он отточил свои математические навыки и достиг, как это называют специалисты, «математической зрелости». Но, к сожалению, о ней практически ничего не известно.

Также неизвестно, когда Фурье впервые использовал концепцию волны, фундаментальную форму, лежащую в основе его великой идеи. Мы знаем лишь, что в 1807 году он изложил ее в работе «О распространении тепла в твердом теле». Волну можно получить, преобразовав идеальную окружность, так что это революционная форма. И она элегантна в своей простоте. Так что у пикселя благородное происхождение.

Чтобы получить наглядное представление о волнах Фурье, давайте начнем с окружности (рис. 1.1). Нам поможет старомодный циферблат аналоговых часов. Кончик секундной стрелки раз за разом пробегает по окружности, отсчитывая одну минуту за другой. Нижнее изображение отличается от верхнего на три секунды.

Большая точка вычерчивает волну. Здесь неплохо бы поместить анимированную картинку, но, поскольку в книге это невозможно, просто представьте, что с течением времени точка движется вправо, как показано стрелкой на оси. Каждому делению на циферблате соответствует аналогичная отметка на оси времени. Теперь представьте, что большая точка связана с кончиком секундной стрелки эластичной линией. С течением времени точка смещается вправо, а проделанный ей путь и есть волна.

Здесь важно понять, как выглядит волна и насколько тесно она связана с равномерным движением по окружности. Детали этой тесной связи не так важны, как само интуитивное понимание, но еще несколько подробностей помогут лучше уяснить и запомнить все это.

Рассмотрим осевую линию на циферблате — линию, соединяющую отметки на 9 часов и 3 часа. Большая точка всегда отмечает текущую высоту кончика секундной стрелки над или под этой линией. В момент, изображенный на верхней иллюстрации (он выбран произвольно), большая точка преодолела уже двадцать три позиции, потому что с начала фиксации прошло двадцать три секунды. С очередным движением секундной стрелки большая точка переместится в следующую позицию на волне. А еще через две секунды мы получим нижнюю иллюстрацию. Так что по мере того, как секундная стрелка снова и снова обегает по кругу циферблат, ее кончик — а точнее, прикрепленная к нему большая точка — движется по волнистой траектории вверх и вниз, вверх и вниз…

Секундная стрелка делает полный оборот за минуту, поэтому волна, нарисованная большой точкой, бесконечно движется вправо. Так же бесконечно она простирается влево. Волна на рисунке, по-видимому, начинается ровно в 12:01 — тоже совершенно случайный выбор, — но подразумевается, что часы вели отсчет времени и раньше, поэтому рисовать волну влево можно, насколько хватит терпения.