Первые правдивые сведения об Эвери были сообщены голландцем ван Брооком, который несколько месяцев был в плену на борту пиратского корабля. Сблизившийся с пленником пират признался ему, что настоящая его фамилия Бриджмен, а псевдоним он принял, чтобы не бросить тень на своих родных. Ван Броок пишет, что Эвери был человеком веселым, даже добродушным, но часто жаловался на то, что в детстве его обижали родственники. Родился он в Плимуте и был сыном капитана торгового судна. В юности попал на флот, служил на разных кораблях, пока не стал капитаном торгового судна, на котором несколько раз ходил в Вест-Индию.
В 1694 году Бриджмен был зачислен первым помощником капитана на английский фрегат «Карл II». В это время между Англией и Испанией был заключен мир, и обе страны объединились в борьбе с пиратами и контрабандистами. Функции эскадры, в которую входил «Карл II», были весьма непривычными для англичан: эскадра была одолжена испанскому правительству для борьбы с французскими контрабандистами у берегов Перу. Жалованье морякам должны были платить испанцы, но те задерживали деньги. Три месяца английские корабли без дела стояли в гавани Ла-Корунья на севере Испании, и моряки открыто выражали недовольство. Момент был очень удачным для Бриджмена, который решил, что служба на государственных кораблях куда менее выгодна, чем свободное крейсерство. Матросы легко поддались уговорам первого помощника, и 30 мая капитан «Карла II» был арестован и заперт в каюте. Слухи о бунте достигли соседнего корабля «Джеймс», и оттуда была срочно отправлена шлюпка с вооруженными матросами, для того чтобы подавить мятеж. Как только матросы со шлюпки поднялись на борт, они присоединились к восставшим. После этого капитан «Джеймса» понял, что любая акция против «Карла» может привести к тому, что и его корабль перейдет в руки пиратов. Потому он воздержался от всяких действий. «Карл II» благополучно покинул бухту. Выйдя в море, корабль лег в дрейф, и с него спустили шлюпку, в которую перешли капитан и несколько офицеров, отказавшихся менять профессию. Тут же пираты переименовали корабль в «Причуду» — они были мастерами по придумыванию названий для своих кораблей — и отправились к Африке.
Тогда же Бриджмен и взял себе псевдоним. Если герой Жюль Верна назвал себя капитаном Немо («никто»), то Эвери (Every) переводится как «каждый», «всякий», «любой». Нарочитая прозаичность этого слова привела к тому, что во всех последующих биографиях пирата авторы меняли первую букву на «А», чтобы это имя приобретало неконкретное и потому романтическое звучание.
Несколько месяцев Звери провел у берегов Гвинеи, где захватывал рабов. Здесь же он ограбил и сжег три английских и два датских корабля. Затем обошел мыс Доброй Надежды и появился в Индийском океане — его целью было добраться до Красного моря.
В мае 1695 года Эвери встретился в море с тремя английскими кораблями, которые погнались за ним, однако догнать не смогли. Тогда же Бомбея достигло письмо Эвери, его политическая программа:
«К сведению всех английских капитанов сообщаю, что прибыл сюда на линейном корабле „Причуда“, бывшем „Карле“ из состава испанской экспедиции, который покинул королевскую службу 7 мая прошлого года. Сегодня командую кораблем в 46 пушек и 160 человек экипажа и намерен искать добычу, и притом пусть всем будет известно, что я никогда еще не нанес вреда ни одному англичанину или голландцу и не намерен этого делать до тех пор, пока остаюсь командиром судна. Потому и обращаюсь ко всем кораблям с просьбой при встрече со мной поднимать на бизань-мачте свой флаг, и я подниму в ответ свой и никогда не нанесу вам вреда. Если же вы этого не сделаете, то учтите, что мои люди решительны, храбры и одержимы желанием найти добычу и, если я не буду знать заранее, с кем имею дело, помочь я вам не смогу.
Остаюсь друг всех англичан
Генри Эвери
Предупреждаю, что на Мохилле находится 160 вооруженных французов, которые дожидаются возможности раздобыть себе новый корабль, так что имейте это в виду».