По следам бесконечности

Еще в ранней молодости Лейбниц пытался создать азбуку мыслей, то есть записывать с помощью знаков простейшие общие понятия, а из комбинации этих знаков должны были получаться суждения и умозаключения.

«Две вещи, — пишет Лейбниц, — принесли мне огромную пользу, хотя обыкновенно они приносят вред. Во-первых, я был, собственно говоря, самоучкой, во-вторых, во всякой науке, как только я приобретал о ней первые понятия, я всегда искал нового, часто просто потому, что не успевал достаточно усвоить обыкновенное…»

Пятнадцати лет Лейбниц поступил в Лейпцигский университет. Характер его занятий по-прежнему оставался крайне разносторонним, он читал все без разбора. И хотя учился на юридическом факультете, посещал и многие другие лекции, в особенности по философии и математике.

Одним из его учителей оказался Яков Томазий, поклонник Аристотеля, человек с колоссальной эрудицией и выдающимся преподавательским талантом. Томазий много способствовал систематизации разнородных и разрозненных знаний Лейбница. Его лекции познакомили Лейбница с великими идеями конца XVI и начала XVII столетий. В то время завоевали всеобщее признание труды Коперника и Галилея, а философия Декарта вытеснила даже авторитет Аристотеля. Огромное впечатление на Лейбница произвели также труды Франциска Бекона, Кампанеллы и Кеплера.

Лейбниц был среднего роста, худощав и бледнолиц. Он носил черный как смоль парик и на первый взгляд производил впечатление довольно невзрачного человека, но отличался широтой натуры, а порой даже безалаберностью. Он любил душевное возбуждение и был энергичен, по его собственным словам, имел живые желания. В его натуре было много противоречивого: он был вспыльчив, но гнев его легко прекращался, охотно путешествовал, но избегал упражнений, требующих сильного движения.

Лейбниц ценил веселую беседу и умел говорить с людьми всех званий и профессий, очень хорошо относился к детям. И чрезвычайно любил рассказывать анекдоты из своего детства, желая доказать, что еще ребенком он был существом необыкновенным.

Душевное настроение Лейбница вполне гармонировало с его философским оптимизмом. Лейбниц был почти всегда весел и оживлен, и обо всех всегда отзывался хорошо. И никогда не относился свысока ни к какому учению.

Таким образом, в натуре и характере Ньютона и Лейбница можно найти много общего. Оба с детства проявляли стремление оригинально мыслить, с уважением относились ко всему, что было до них достигнуто в науке, оба отличались завидным душевным здоровьем и больше всего ценили в занятиях наукой возможность произнести свое слово. Наконец, оба обладали богатым воображением и фантазией.

Напрасно думают, писал В. И. Ленин, что фантазия нужна только поэту. «Это глупый предрассудок! Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии»[6].

Исторические но своему значению математические исследования Ньютона и Лейбница развивались не совсем на пустом месте. В начале XVII столетия трудами Кеплера и Кавальери были заложены основы совершенно новой отрасли математики.

Иоганн Кеплер, который вошел в историю науки открытием законов движения планет, разработал метод операций с бесконечно малыми величинами, получивший название «интеграционного». Любую фигуру или тело он представлял в виде суммы бесконечного множества бесконечно малых частей. Например, круг, считал он, состоит из бесконечно большого числа бесконечно узких секторов. И хотя природа бесконечно малых у Кеплера оставалась невыясненной, этот метод имел большое значение для развития математики.

Как мы уже отмечали, похожий метод применял и Архимед. Однако письмо Архимеда к Эратосфену, в котором он излагал его сущность, было обнаружено лишь в начале XX столетия.

Аналогичный метод разрабатывал и Кавальери. Однако все это были только первые робкие шаги. Настоящее развитие операции с бесконечно малыми получили в трудах Ньютона.

Ньютон переменные величины называл флюентами. А отношение бесконечно малого прироста одной флюенты к соответствующему бесконечно малому приросту другой — флюксиями. В современной терминологии принято обозначение, введенное впоследствии Лейбницем, — дифференциал.

Ньютон прекрасно сознавал значение своего открытия и отчасти закрепил свой приоритет в этой области письмом к Коллинзу в декабре 1672 года. Коллинз был своеобразным центром научной переписки английских математиков с иностранными учеными.

В письме Ньютон сообщал о своем открытии, но лишь в самой общей форме — самого метода он не указывал и не объяснял, а только пояснял его несколькими примерами.