Поиски истины

Камень у поверхности Земли может совершать три независимых движения: свободное по двум горизонтальным направлениям и ускоренное под действием силы тяжести по вертикали. Спутник, огибающий Землю, тоже совершает три независимых движения - по меридиану, по параллели и по направлению к центру Земли.

Точно так же у частицы в поле, зависящем не от углов, а только от расстояния до центра (например, ку-лоновское поле ядра), есть три независимых движения: по меридиану, по параллели и по радиусу. Все эти три движения можно квантовать независимо.

Рассмотрим движение по параллели, ось z направим от Южного полюса к Северному. Найдем соответствующую длину волны частицы. Пусть расстояние до оси вращения р. Тогда

Здесь M_z- момент количества движения вокруг оси z, или, что одно и то же, - проекция полного момента на ось z. На длине 2 \pi \rho должно уложиться целое число волн, иначе не получится стоячей волны. Совершив полный оборот и придя в ту же точку на параллели, мы должны иметь то же самое значение волновой функции, что и до оборота. Таким образом, 2 \pi \rho=n h, где п - целое число. Из выражения для \lambda получаем:

Проекция момента есть целое число, умноженное на h. Максимальное возможное значение проекции полу-

чается, когда полное вращение происходит по оси г. Тогда Mz = M = nmh. Мы получили, что и полный момент квантовой системы есть целое число, умноженное на h.

Будем измерять момент и его проекцию в единицах h. Мы видим, что проекция момента принимает все возможные целые значения от -M/h до M/h. Для момента M/h = 1, Mz /h = 1,0,- 1.

Есть частицы, которые благодаря внутреннему движению имеют полуцелый спин (момент, деленный на h); например, спин электрона и протона равен 1/2. Неудивительно, что для описания внутреннего движения частиц наша простая схема не годится. Но наш результат мало изменится, если в полном моменте участвуют частицы со спином 1/2, как в атоме водорода, где есть только один электрон, спин которого не скомпенсирован другими. Полный момент электрона и его проекция принимают не целые значения, а полуцелые. Так, для основного состояния спин электрона в атоме водорода равен 1/2, а проекции: 1/2, -1/2.

Квантовый осциллятор

Для применения квантовой механики несущественно, как реализован осциллятор - представляет ли он груз, колеблющийся на пружине, или колебательный контур.

Обозначим через q «обобщенную» координату осциллятора - это может быть величина смещения груза из положения равновесия или заряд на обкладках конденсатора в случае колебательного контура. Запишем энергию осциллятора в виде суммы кинетической и потенциальной энепгии:

Величина \beta - «масса», а величина \gamma- «жесткость» осциллятора. Можно представить, что осциллятор - это некая «частица» с массой р, которая колеблется на пружине с жесткостью у. Введем длину волны \lambda волнового процесса, связанного с нашей «частицей»,

В знаменателе, как и в случае электрона, стоит произведение «массы» на «скорость частицы». Поскольку «частица» движется в области от -q до q, то для того,

чтобы образовалась стоячая волна, на «длине» 2q должно укладываться целое число полуволн: 2q/(\lavbda/2) =n +1; n = 0,1,2,3. Сначала найдем скорость

Наинизшее значение п равно нулю - на длине 2q укладывается половина длины волны - максимум посередине и нули на краях. В этом состоянии неопределенность импульса \del p ~p~ \beta q'~h/q , в согласии с соотношением неопределенности.

Подставляя выражение для скорости в кинетическую энергию, получим:

А для полной энергии получим:

Значение q, дающее наименьшую энергию, получится, если приравнять кинетическую и потенциальную энергии:

Подставляя в выражение для энергии, найдем:

Действительно, величина sqrt(\gamma/\beta)=\omega представляет собой частоту колебаний классического осциллятора. При точном расчете для энергии получается выражение:

Таким образом, мы ошиблись только в численном множителе (\pi/2 вместо 1) при n, а также в численном значении энергии наинизшего состояния, когда n =0 = 0 (\pi h \omega/2 вместо h \omega/2). Все остальное получилось правильно! Теперь, когда результат получен, следует задуматься над тем, что мы использовали для его получения и что вытекает из полученных нами выражений для энергии осциллятора и для величины q2.

Прежде всего мы применили к нашему осциллятору, не интересуясь его устройством, принципы квантовой механики, установленные первоначально для электронов. Конечно, естественно ожидать, что общие принципы должны быть такими же и для других частиц с массой, отличающейся от массы электрона. Такое обобщение с большой точностью подтвердилось опытом. Но почему эти же принципы приложимы и к колебательному контуру, где роль «координаты» играет заряд на обкладках конденсатора? Здесь мы использовали предположение, которое много раз применялось в теоретической физике XX века. Если две системы имеют энергию, одинаково зависящую от координат и скоростей, то все свойства таких систем совершенно одинаковы, какой бы смысл ни имели «координаты» и «скорости».