Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

Now, the volume Vol(R) of a region R of phase space has dimensions Length²·Mass/Time for each degree of freedom. This combination of dimensions, Length²·Mass/Time, is called ‘action’ and is the dimension of the Planck constant. Therefore what the Planck constant fixes is the size of a (tiny) region in the space of the possible values that the variables of any system can take.

Now: the major physical characterisation of quantum theory is that the volume of the region R where the system happens to be cannot be smaller that 2πћ:

Vol(R) >= 2πћ (2)

per each degree of freedom. This is the most general and most important physical fact at the core of quantum theory. This implies that the number of possible values that any variable distinguishing points within the region R of phase space and which can be determined without altering the fact that the system is in the region R itself, is at most

N<= Vol(R)/2πћ (3)

which is a finite number. That is, this variable can take discrete values only. If it wasn’t so, the value of the variable could distinguish arbitrary small regions of phase space, contradicting (2). In particular: any variable separating finite regions of phase space is necessarily discrete.

В этой выдержке произносятся слова «discrete» и «finite». Вначале он говорит, что элемент фазового пространства имеет ту же размерность, что и ћ. Это хорошо известно, хотя, как я писал выше, довольно странно выражать ћ через классические размерности. А дальше он говорит, что число состояний удовлетворяет условию (3). В квантовой механике есть хорошо известное (и описанное в учебниках) правило Бора-Зоммерфельда, что когда квазиклассическая частица совершает финитное движение, то число состояний N конечно и дается той же формулой (3), но вместо N надо писать N+1/2, вместо <= писать просто = и, хотя N большое, но 1/2 все равно надо учитывать. Т. е., в квазиклассическом случае то, что он пишет, это просто правило Бора-Зоммерфельда, но он об этом не говорит и поэтому для читателя может быть загадкой откуда это правило следует. Видимо, он претендует на нечто большее т. к. он не говорит, что рассматривает только квазиклассическое приближение. Но фазовый объем имеет смысл только в квазиклассическом приближении и он ничего не говорит о том как формула (3) выводится.

Но в любом случае, это правило получено в стандартной квантовой механике, где координаты и импульсы непрерывны. В квантовой механике часто возникает дискретный спектр (отсюда и название "квантовая") потому что, как хорошо известно, некоторые операторы в Гильбертовом пространстве (например, угловой момент или энергия) могут иметь такой спектр. Но это не значит, что сама теория дискретна т.к. она основана на стандартной математике. Так что, по крайней мере в данном случае, слова о дискретности большого смысла не имеют и опять непонятно есть ли что-то более фундаментальное в его словах о дискретности.