Порядок из хаоса

Опишем теперь эволюцию функции плотности в фазовом пространстве. На первый взгляд это еще более дерзкая задача, чем та, которую поставил перед собой Больцман: описание временной эволюции функции распределения скоростей. Но это не так. Канонические уравнения Гамильтона, о которых шла речь в гл. 2, позволяют нам получить точное эволюционное уравнение для r без дальнейших приближений. Это так называемое уравнение Лиувилля, к которому мы еще вернемся в гл. 9. Пока же отметим лишь одно важное следствие из гамильтоновой динамики: плотность r эволюционирует в фазовом пространстве как несжимаемая жидкость (если представляющие точки в какой-то момент времени занимают в фазовом пространстве область объемом V, то объем области остается постоянным во времени). Форма области может изменяться произвольно, но объем ее при всех деформациях сохраняется.

Таким образом, теория ансамблей Гиббса открывает возможность строгого сочетания статистического подхода (исследования «популяции», описываемой плотностью r) и законов динамики. Она допускает также более точное представление состояния термодинамического равновесия. Например, в случае изолированной системы ансамбль представляющих точек соответствует системам с одной и той же энергией Е. Плотность r отлична от нуля только на микроканонической поверхности в фазовом пространстве, отвечающей заданному значению энергии. Первоначально плотность r может быть распределена по микроканонической поверхности произвольно. В состоянии равновесия плотность r перестает изменяться во времени и не должна зависеть от выбора начального состояния. Следовательно, приближение к равновесному состоянию имеет простой смысл в терминах эволюции плотности r: функция распределения r становится постоянной на всей микроканонической поверхности. Каждая точка такой поверхности с равной вероятностью может представлять систему. Это соответствует микроканоническому ансамблю.

Рис. 28. Временная эволюция в фазовом пространстве «объема», содержащего представляющие точки системы: величина объема остается неизменной, а форма искажается. Положение в фазовом пространстве задается координатой q и импульсом р.

Приближает ли теория ансамблей хоть сколько-нибудь к решению проблемы необратимости? Теория Больцмана описывает термодинамическую энтропию с помощью функции распределения скоростей f. Для этого Больцману пришлось ввести свою H-функцию. Как мы уже знаем, система эволюционирует во времени до тех пор, пока распределение скоростей не становится максвелловским, и на протяжении всей эволюции H функция монотонно убывает. Можно ли теперь в более общем плане принять за основу возрастания энтропии эволюцию распределения r в фазовом пространстве к микроканоническому ансамблю? Достаточно ли для этого вместо больцмановской функции H, выраженной через f, взять гиббсовскую функцию H_G, зависящую точно таким же образом от r? К сожалению, ответы на оба вопроса отрицательны. Если мы рассмотрим уравнение Лиувилля, описывающее эволюцию плотности r в фазовом пространстве, и учтем сохранение объема «фазовой жидкости», о котором уже упоминалось, то вывод последует незамедлительно: функция H_G постоянна и поэтому не может быть аналогом энтропии. По отношению к теории Больцмана последнее обстоятельство кажется не столько продвижением вперед, сколько шагом назад!

Несмотря на этот негативный аспект, вывод Гиббса остается весьма важным. Мы уже неоднократно отмечали расплывчатость и. неоднозначность понятий порядка и хаоса. Постоянство функции H_G свидетельствует о том, что в рамках динамической теории не существует никакого изменения порядка! «Информация», выражаемая функцией H_G, остается постоянной. Сохранение информации можно понимать следующим образом: столкновения порождают корреляции. В результате столкновений скорости рандомизируются, становятся случайными, что позволяет нам описывать весь процесс как переход от порядка к хаосу. Вместе с тем появление корреляции в результате столкновений свидетельствует об обратном процессе: о переходе от хаоса к порядку! Теория Гиббса показывает, что оба процесса — прямой и обратный — в точности компенсируют друг друга.