Пособие для подготовки к успешной сдаче ЕГЭ по математике базового уровня в 2024 году

Примерное время выполнения задания выпускником (мин.) – 7.

Чтобы решить задание 7 по математике базового уровня необходимо знать:

• что такое линейная функция и её график;

• что такое производная функции;

• геометрический смысл производной;

• как исследовать график функции.

Линейная функция

Линейная функция (прямая) имеет вид y = kx + b, где k – угловой коэффициент, который характеризует угол, который образует прямая y = kx + b положительным направлением оси Ох. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0, то – тупой; если k = 0, то прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней.

Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg ?, где ? – угол наклона касательной.

Также для удобства составим таблицу, которая будет демонстрировать зависимость коэффициента k от угла наклона прямой:

Производная функции

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю и если этот предел существует

Геометрический смысл производной функции

Знание углового коэффициента касательной к графику функции позволяет ответить на некоторые вопросы при исследовании функции.

Значение производной функции y = f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

f^'(x) = k.

Если производная функции y = f(x) в точке x₀ равна нулю, то касательная, проведенная к графику этой функции в точке с абсциссой x₀, параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg ?, то

f^'(x₀ ) = tg ?.

Исследование функции

Промежутки монотонности функции (промежутки возрастания и убывания функции)

Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале (a;b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁ < x₂, справедливо неравенство f(x₁) < f(x₂).

Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a;b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁ < x₂, справедливо неравенство f(x₁) > f(x₂).

Точки экстремума (точки максимума и минимума функции)

Точка x_max области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) < f(x_max). Значение y_max = f(x_max) называется максимумом этой функции.

Точка x_min области определения функции называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) > f(x_min). Значение y_max = f(x_min) называется минимумом этой функции.

7.2. Примеры заданий и методика их выполнения

Пример 1 [4]

Условие

На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке x = 1.

ГРАФИКИ

ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1) 0,75

2) –0,2

3) 3

4) –5

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение

Данное задание можно решить наглядно, найдя значение производной. Затем учесть, что оно равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Так как угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положительным направлением оси абсцисс k = tg ?, то мы можем достроить все прямые до прямоугольного треугольника и найти тангенс угла наклона:

Так тангенс прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему, найдем поочерёдно значение k для каждой из прямых:

А) k = 3/1 = 3, так как 45° < ? < 90°, k < –1, следовательно k = 3

Б) k = 5/1 = 5, так как 90° < ? < 135°, k < –1, следовательно k = –5

В) k = 3/3 = 0,75, так как 0° < ? < 45°, k < –1, следовательно k = 0,75

Г) k = 1/5 = 0,2, так как 135° < ? < 180°, – 1 < k < 0, следовательно k = –0,2

Заполним таблицу:

Ответ: 3412.

Пример 2 [3]

Условие

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение

Так как значение производной равно угловому коэффициенту касательной, проведённой в этой точке. Поэтому определим угловые коэффициенты для каждой из прямых. Для удобства пронумеруем их на рисунке и покажем угол наклона каждой прямой с положительным направлением оси Ox:

Составим таблицу, в которой определим коэффициент угла наклона каждой прямой

Заполним таблицу:

Ответ: 2143.

Пример 3 [3]

Условие

Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [-1; 1].