Правила против Законов

На тот момент в математической науке сложилось общепринятое мнение, что существуют некие границы, которые не следуют пересекать. То есть сложились внутренние правила, подобно правилам, которые были установлены в философии для доказательств истинности суждений посредством законов аристотелевой логики. Но в отличие от философии, в математических науках все же существуют предикаты на доказательства, и чтобы отделить истину от лжи, следует предъявить весомые аргументы. Выстраиваемые ограничения объективно могут быть преодолены и преодолеваются, что выражается прогрессом в науке. Тем не менее следует отметить, что временные интервалы в тысячи лет выглядят весьма «странно медленно» с точки зрения эволюционного развития наук, в частности, математики в периоде от евклидовой геометрии до геометрии Лобачевского. Наиболее точно суть проблемы выразил Бенуа Мандельброт, сказав, что существование математических феноменов «бросает нам вызов и побуждает заняться подробным изучением тех из форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их «бесформенности» – исследовать, так сказать, морфологию "аморфного". Математики же пренебрегли этим вызовом и предпочли бежать от природы путем изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем» [46, С. 2]. Направления поиска истины, которые указали человечеству философы-мудрецы Сократ и Платон, как при построении идеального государства в нашем микромире, так и при создании концепции создания существ, Бога, мироздания и его фрактальной природы в макромире Космоса. Эти мысли могли бы вдохновить на развитие наук, логики в правильном направлении, в частности, и для «геометров», и для философов, что подтверждает наш тезис о философии как мудрости или стратегическом мышлении совокупного человечества. Но топтаться на месте две тысячи лет «вдали» от природы и в упор не замечать её божественного самоподобия, как сказал Аристотель Эмпедоклу, «это уж слишком».

Давайте рассмотрим, наверное, самый известный фрактал основателя-отца фрактальной геометрии, выдающегося математика, профессора Ельского университета Бенуа Мандельброта под названием «множество Мандельброта». Доктор физики третьего Физического института в Гёттингене, профессор Манфред Шредер высоко отозвался о прорывных достижениях Мандельброта, сказав, что он «в одиночку спас наиболее хрупкие функции теории множеств и наиболее "пыльные" множества от почти полного забвения, поместив их в самый центр нашего повседневного опыта и представлений» [115].

Множество Мандельброта считается одним из самых сложных фракталов из когда-либо созданных. Оно воспроизводится на комплексной плоскости простым математическим процессом через итерацию zn+1 -> z?n + c, определяющей процедуру, в которой результат вычисления является входом для следующего вычисления. При значительном увеличении фрагментов множества Мандельброта, можно увидеть безграничность самоподобия и красоту формирования фрактала. Для понимания всеобъемлющей сложности фрактальной структуры и одновременно его фантастического великолепия рекомендуется посмотреть компьютерную анимацию на ютубе [108]. Для примера дадим общее описание трехмерной версии множества – 3D-фрактал «Оболочка Мандельброта22».

«Формула для n-й степени трёхмерного гиперкомплексного числа23 (x, y, z) следующая:

где

была использована итерация z -> z?+ c , где z и c – трёхмерные гиперкомплексные числа, на которых операция возведения в натуральную степень выполняется так, как это указано выше. Для n > 3 результатом является трёхмерный фрактал» [59].

Поразительно, что простая квадратичная функция комплексных чисел при множестве итераций создает невероятную сложность структуры и потрясающую красоту форм. Моделированием через трехмерные комплексные числа можно получить сложнейшую форму трехмерного фрактала «оболочка Мандельброта». Сочетание простоты алгоритмов и сложности самоподобия форм рождает целые миры удивительной красоты. В основании геометрического фрактала Мандельброта лежит простой алгоритм, бесконечно повторяющийся и создающий сложные самоподобные дочерние объекты, подчиненные степенным законам. Трудно не согласиться с Платоном о гениальности решения Создателя, где сочетание простоты и сложности структуры мироздания он заложил в основания развития всех живых существ, подобных ему, повторяющийся и создающий множество самоподобных Ему бесконечных структур. Таким образом, создан метод описания сложных систем, включающий в себя качество (геометрия), количество элементов и систему организации (связей) сложных структур. Это дает возможность анализировать и совершенствовать сложные объекты, системы для решения проблем их устойчивого развития.