Приключения инженера

Евклид, древнегреческий математик обобщил опыт еще более древних, чем он сам, математиков и создал геометрию, которая с тех пор так и называется — евклидова геометрия. О возможностях создания других геометрий Евклид не задумывался, потому что его геометрия оказалась весьма совершенной и удовлетворяла всем практическим нуждам. По этим причинам она живет и в наши дни и будет жить, вероятно, столько, сколько будет существовать человечество. Основа ее долголетия проста: она соответствует реальной действительности, и ею удобно пользоваться при решении самых разнообразных задач.

Однако в 19 столетии в умах математиков наметился некоторый поворот. Некоторые из них решили, что геометрия может существовать как некоторое самостоятельное произведение типа головоломок или детективных историй. Потому что главное в геометрии вовсе не соответствие реальной действительности, а внутренняя логика и внутренняя непротиворечивость. То, что геометрия, как и вся математика, это логическая мельница, которая перемелет то, что положено в ее основу, тогда никто не задумывался. Не задумываются над этим и сейчас. И на этом фоне в 19 столетии в Казани возник профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский.

Н.И. Лобачевскому не понравился пятый постулат Евклида о том, что через одну точку, лежащую на плоскости, на которой расположена прямая линия, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Он предложил идею о том, что через эту точку можно провести, по крайней мере, две не совпадающих друг с другом прямых, параллельных данной. Есть правда подозрение, что Лобачевскому, строгому логику, хотелось доказать от противного, что такого быть не может, для чего он и затеял построение целой цепи доказательств. Однако, пройдя всю цепь, он нигде не нашел такого звена, за которое можно было бы зацепиться. Так и появилась неевклидова геометрия, в которой внутренне все логично и последовательно, даже такое положение, что сумма углов треугольника меньше, чем 180°.

Геометрия Лобачевского сначала не была принята современниками, и даже были памфлеты по этому поводу. Но несколько лет спустя, стараниями немецкого математика К. Гаусса, который сам в молодости грешил тем же, Лобачевский был избран членом-корреспондентом Гёттингенского ученого общества.

Раз Европа приняла, значит, что-то тут есть. Лобачевский стал знаменит, и даже был назван «Коперником геометрии», а его геометрия так и была названа — Неевклидова геометрия Лобачевского.

Автор вовсе не хочет бросить тень на всю деятельность Лобачевского, у него немало заслуг, и именно при нем Казанский университет стал расцветать. Однако хотелось бы знать, в чем дело, почему геометрия Лобачевского не вытеснила устаревшую геометрию Евклида? Может быть, в ней, не евклидовой, все-таки не все в порядке, несмотря на всемирное признание? Может быть, она не совсем соответствует нашей реальности или даже совсем не соответствует?

Есть всякие оправдания. Говорят, что геометрия Лобачевского это геометрия внутри круга на плоскости или внутри шара в пространстве. Но где он, этот шар в пространстве? Какую форму может иметь бесконечное пространство вообще?

Утверждают, что проверка суммы углов, которые меньше 180°, возможна лишь для очень больших треугольников. Если взять, к примеру, крайние точки орбиты Земли, а третьей точкой — звезду Сириус, то вот там и будет яркое доказательство справедливости неевклидовой геометрии. Очень может быть. Но до Сириуса далеко, и если это даже так, то что нам, землянам с этого толку? Не кажется ли, что все эти игры напоминают ума досужих рассуждений и сердца горестных замет и ничего более? Зачем все это?

Существуют еще и другие геометрии, например, геометрия Римана. Про нее говорят, что это геометрия на шаре, и тут нет никаких возражений, кроме, разве что, того же вопроса: о каком конкретно шаре идет речь? Никто не возражает против исходных аксиом римановой геометрии, о том, что через две точки проходит только одна прямая, что две плоскости пересекаются по одной прямой и что прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в одной точке. Но что нового, кроме другой системы рассуждений, это вносит в физику реального пространства?

В римановой геометрии, зато, появилось понятие «кривизны пространства». Кривизны относительно чего, относительно того же пространства? Появилось понятие «пространств Римана». Очень интересно. Сколько же всего таких «пространств», если все мы живем в общем обыкновенном евклидовом пространстве, зачем они?