Принцесса или тигр

Доказательство теоремы G представляет собой простое обобщение доказательства, которое уже известно читателю для системы Фергюссона. Обозначим через К множество таких чисел х, для которых элемент х*х не принадлежит множеству Р. Поскольку множество Р (согласно условию G1) именуемо в данной системе, то же можно сказать и о его дополнении Р (согласно условию G2), а следовательно, и о множестве Р* (согласно условию G3). Но множество Р* совпадает с множеством К (поскольку Р* — это множество таких чисел х, для которых х* х принадлежит Р, или, другими словами, множество таких чисел х, для которых элемент х*х не принадлежит Р). Таким образом, множество К допускает наименование в данной системе, откуда следует, что К = А* по крайней мере для одного числа k. (Для системы Фергюссона одним из таких чначений k было число 73, другим — число 75.) Таким образом, для любого числа х истинность утверждения x Є Ak равносильна утверждению, что число х*х не принадлежит Р, а это в свою очередь означает, что утверждение x Є Ax недоказуемо (в данной системе). В частности, если мы возьмем в качестве х число k то истинность утверждения k Є A* будет равносильна его недоказуемости в данной системе, что означает либо истинность, но недоказуемость этого утверждения, либо его ложность, но доказуемость в той же системе. Но последняя возможность исключена, поскольку мы предположили, что наша система является правильной; следовательно, указанное утверждение истинно, но недоказуемо в данной системе.

Обсуждение. В своей предыдущей книжке «Как же называется эта книга?» я рассматривал аналогичную ситуацию — остров, все жители которого делятся на рыцарей, которые всегда говорят только правду, и плутов, которые всегда лгут. При этом некоторых рыцарей мы называли признанными рыцарями, а некоторых плутов — отъявленными плутами. (Все рыцари высказывают истинные суждения, а признанные рыцари высказывают утверждения, которые не только истинны, но и доказуемы.) Далее, ни один из жителей острова не может сказать: «Я не рыцарь» — ведь рыцари никогда не лгут и, стало быть, рыцарь не станет говорить, будто он не рыцарь; плут же никогда не скажет о себе правдиво, что он не рыцарь. Именно поэтому ни один из обитателей острова никак не может заявить, что он не рыцарь. Вместе с тем некий островитянин вполне может сказать: «Я непризнанный рыцарь». Противоречия в таком заявлении нет, однако вот что интересно: сказавший это наверняка должен быть рыцарем, но непризнанным рыцарем. Дело в том, что плут никак не может сделать правдивого заявления, что он непризнанный рыцарь (поскольку он и в самом деле им не является); стало быть, говорящий должен быть рыцарем. Но раз он рыцарь, то, значит, должен говорить правду; стало быть, он рыцарь, но, как он сам утверждает, — непризнанный рыцарь. (Точно так же высказывание k Є Ak выдающее свою недоказуемость в данной системе, должно быть истинным, но недоказуемым в этой системе.)

Утверждения Гёделя и теорема Тарского

Рассмотрим теперь систему, удовлетворяющую условиям G2; и G3 (условие G1 пока несущественно). Ранее мы определили Р как множество гёделевых номеров всех утверждений, доказуемых в данной системе; пусть теперь Т будет множеством гёделевых номеров всех истинных утверждений в этой системе. В 1933 г. логик Альфред Тарский поставил вопрос: «Именуемо ли множество Т в данной системе или нет?» — и ответил на него. Ответ может быть получен на основе лишь условий G2 и G3. Однако, прежде чем говорить об этом, обратимся сначала к вопросу не меньшей важности— о системах, которые удовлетворяют по крайней мере условию G3.

Для любого заданного утверждения X и любого множества положительных целых чисел А мы будем называть X гёделевым утверждением для A, если либо X истинно и его гёделев номер принадлежит A, либо X ложно и его гёделев номер не принадлежит A. (Подобное утверждение можно представлять себе как высказывание о том, что его собственный гёделев номер принадлежит A: если это утверждение истинно, то его гёделев номер действительно принадлежит A; если же оно ложно, то его гёделев номер не принадлежит A.) Далее, мы будем называть систему гёделевой в том случае, если для каждого множества Л, допускающего наименование в этой системе, существует хотя бы одно гёделево утверждение для A.

При этом самым существенным для нас пунктом является следующая теорема.

Теорема С. Если система удовлетворяет условию G3, то эта система является гёделевой.

1. Докажите теорему С.

2. В качестве частного случая рассмотрите систему Фергюссона. Найдите гёделево утверждение для множества А100

3. Предположим, что некоторая система является гёделевой (даже если она и не удовлетворяет условию G3). Если эта система правильна и удовлетворяет условиям G1, и G2, то обязательно ли она содержит утверждение, которое является истинным, но недоказуемым в данной системе?

4. Пусть Т—множество гёделевых номеров всех истинных утверждений. Существует ли гёделево утверждение для Т? Существует ли гёделево утверждение для множества Т, то есть дополнения Т?