Природа и общество. Модели катастроф

Как мы покажем, имеет смысл засевать лишь участки области А, которые оказываются наиболее выгодными для производства пшеницы. В самом деле, предположим, что один из участков области А, с номером i, не обработан, и покажем, что в этом случае можно предложить более выгодный способ использования имеющихся земельных ресурсов. Поскольку задана общая производительность Р, какую надо получить со всех обрабатываемых участков, а область А построена так, что все ее участки вместе дают именно эту продукцию, то выпадение участка i означает, что обработаны некоторые из участков остальной области В. Предположим, что участки j₁, j₂, ..., j_k области В обработаны и дают в сумме как раз недостающую производительность Р_i участка i. Покажем, что в таком случае выгоднее прекратить их обработку и вместо них обработать один участок i.

Пусть j означает любой из упомянутых участков области В. Тогда наклон прямой О_j по отношению к оси S меньше наклона прямой О_i (см. рис.1), поскольку первая из них ниже прямой R, а вторая – выше. Наклон измеряется отношением ординаты точки прямой к ее абсциссе, одним и тем же для всех точек прямой; поэтому для всех точек j рассматриваемого набора справедливо неравенство

Умножив обе части на S_iSj и выполнив сокращения, можно переписать это в виде

S_i Р_j < S_j Р_i.

Такие неравенства верны для всех значений j нашего набора, то есть для j = j₁, j₂,..., j_k. Сложив их, получаем

или, что то же,

Но сумма в левой скобке, по самому выбору участков j, равна производительности Р_i участка i, который они заменяют, а сумма в правой скобке есть полная величина затрат на всех указанных участках j, которую мы обозначим через S. Итак, получаем S_i Р_i < S P_i, или, сокращая на P_i, S_i < S. Это значит, что замена набора участков j одним участком i, не меняя общей производительности Р ,приводит к снижению затрат, так что такая замена выгодна.

В общем случае может оказаться, что не обработано несколько участков области А (а не один, как мы предполагали до сих пор), и вместо них обработан некоторый набор участков области В; можно доказать, что и в этом случае выгодно отказаться от обработки участков из В, заменив их участками из А. Мы не приводим математического доказательства, которое заинтересованный читатель может выполнить самостоятельно. Заметим только, что наименьшая сумма затрат достигается, когда обрабатываются все участки области А, и только они. Можно с уверенностью предположить, что так и произойдет в действительности, поскольку рассматриваемое племя после ряда попыток найдет наиболее выгодные участки и, не будучи заинтересовано в избыточном зерне, не станет обрабатывать остальные.

Таким образом, "двумерный" метод, изображаемый рисунком 1, уже позволил нам выяснить, какие из участков в действительности обрабатываются. Становится понятным, откуда взялись "пшеничные пояса", где выгодно выращивать пшеницу (особенно в Соединенных Штатах), "кукурузные пояса", и т.д. Конечно, точный математический расчет, описанный выше, с учетом всех нужных для него данных – производительности и трудовых затрат всех участков – не под силу никакому первобытному племени, и даже современному обществу. Он имеет теоретическое значение, так как позволяет понять, как мы увидим, целый ряд экономических явлений. Но племя эмпирически находит оптимальное решение, последовательно испытывая разные участки и обменивая их друг на друга, на чем было основано и приведенное выше доказательство (принадлежащее Рикардо). Мы еще не раз встретимся с этим свойством стихийных экономических процессов: они управляются мотивами "сиюминутной", непосредственной выгоды отдельных лиц, но в конечном счете их результаты совпадают с выводами точного математического анализа, решающего некоторую задачу оптимизации. Как мы сейчас покажем, диаграмма рисунка 1 применима без изменений к современным условиям частной собственности и денежного хозяйства.