Природа и общество. Модели катастроф

Мы начнем с простейшей модели, позволяющей понять ряд важных проблем: стабилизацию популяций, циклические процессы в популяциях и вспышки массового размножения. Как мы увидим, эта модель позволяет без вычислений, с помощью простых графиков описать и прогнозировать внезапное многократное возрастание численности популяции, которое и называется "вспышкой массового размножения". В некоторых случаях такие вспышки провоцировал человек, привозя новые виды животных и растений в страны, где отсутствовали условия, регулирующие их численность, – например, где у них не было естественных врагов: так произошло в Австралии размножение кролика, ввезенного туда европейскими колонистами, или в Европе и Азии размножение американского вредителя картофеля – случайно завезенного колорадского жука. Но надо иметь в виду, что такие вспышки размножения были всегда, и независимо от человека: это общее явление природы, как можно видеть в общеизвестных нашествиях мышей, леммингов или саранчи.

Закономерности этого явления проще всего объяснить в случае размножения насекомых, питающихся деревьями. Классический пример их вспышек размножения представляет хорошо изученный черный большой усач, обитающий в Саянских горах. Вспышка начинается, когда насекомые почти не заметны в лесу, но за несколько лет их число возрастает в 10 раз, и вспышка прокатывается по лесу, уничтожая на своем пути значительную часть деревьев, затем она затухает, и насекомых опять почти не видно.

Фазовые портреты

Для изучения динамики популяции важно знать, каким образом по численности насекомых в текущем году можно предсказать, сколько их будет в следующем. Пусть на некотором участке в текущем году оказалось К насекомых, а в следующем – М. Тогда отношение М/К измеряет, во сколько раз увеличилось число насекомых (если это отношение больше 1), или уменьшилось (если оно меньше 1). Отношение М/К называется коэффициентом размножения рассматриваемого вида на выбранном участке. Если природные условия на участке мало меняются, а насекомые распределяются на нем равномерно, то их численность пропорциональна площади, и отношение М/К для любой части участка одно и то же. Поэтому достаточно брать для исследования участки одной и той же площади, например, в 1 кв. километр. Конечно, в разных частях леса отношение М/К может быть различно, в зависимости от природных условий, и – что наиболее важно для дальнейшего – оно может меняться от года к году: в самом деле, уже имеющаяся численность насекомых должна влиять на процесс размножения, поскольку от нее зависит, сколько остается в лесу пищи и удобных мест для поселения. Ясно, например, что если насекомых становится слишком много, то есть происходит перенаселение, то их размножение должно замедлиться, так как часть потомства не может выжить.

Таким образом, если известно только число насекомых данного вида К, живущих на участке в 1 кв. километр, то нет простого правила, позволяющего предсказать их число М в следующем году. Для изучения этого вопроса служит описываемый ниже метод "фазовых портретов".

Назовем "стандартным наблюдением" подсчет в текущем году числа насекомых рассматриваемого вида К на данном участке и числа тех же насекомых М на том же участке в следующем году. Стандартное наблюдение дает пару чисел (К, М), которую можно изобразить геометрически с помощью координат. Для этого построим на плоскости две перпендикулярные оси (рис.1) и выберем на обеих осях одну и ту же единицу масштаба (означающую, скажем, 1000 насекомых). Будем откладывать число К по горизонтальной оси (оси абсцисс), а число М – по вертикальной (оси ординат). Тогда результат стандартного наблюдения – пара чисел (К,М) – изображается точкой Р плоскости с координатами (К,М): на рис.1 К = 5000, М = 6000. Это значит, что в первый год на участке оказалось 5000 насекомых, а во второй год наблюдения – 6000.

Рис.1

Теперь представим себе, что в изучаемом лесу в течение ряда лет производится множество стандартных наблюдений, на разных или на одних и тех же участках. Изображая результат каждого наблюдения точкой плоскости (К,М), мы получаем "облако" точек (рис.2), называемое фазовым портретом интересующей нас популяции.

Рис.2

Каждая точка "облака" изображает два числа, полученные подсчетом на одном и том же участке в два последовательных года. Так, точка P₁ может означать, что в 1985 году на некотором участке было обнаружено 8000 насекомых (абсцисса точки), а в следующем 1986 году на том же участке 6000 насекомых (ордината точки). Точка P₂ может изображать стандартное наблюдение на том же участке, в котором исходная популяция в 1986 году (6000) превращается в 1987 году в 5000. Таким образом, точки Р₁, Р₂ изображают два последовательных стандартных наблюдения на одном и том же участке. Точка P₃ может относиться к тому же, или к другому участку, где стандартное наблюдение было проведено в 1992 году (с результатом 8000) и в 1993 году (с результатом 11000). Точка P₄ означает, что на каком-то участке в 1990 году оказалось 14000 насекомых, а в 1991 году – 8000.