Природа и общество. Модели катастроф

Пусть τ – время естественного возобновления леса: это значит, что на месте вырубленного леса через τ лет вырастает опять зрелый лес. Для обычных пород деревьев τ имеет порядок 100 лет: сосна вызревает через 100 – 150 лет, береза и другие быстро растущие деревья – через 40 – 50 лет, а такие деревья, как дуб, вырастают в несколько столетий. Если ничего не делать на месте порубки, то вместо вырубленных сосен там сначала вырастут березы, а затем уже – через 40 – 50 лет – их начнут вытеснять сосны. Для молодых сосен березовый лес выполняет даже полезные функции, доставляя им защиту от жары и обезвоживания. Но смена лесных пород требует много времени: вместо 100 – 150 лет зрелые сосны появятся лишь через 200 – 250 лет. Ясно, что ускорение процесса возобновления леса может быть выгодно владельцу лесного участка. Как мы знаем, его оценка качества зрелого леса, который должен естественно вырасти через τ лет, составляет

Q(τ) = Q₀e^{-λ τ}

где Q₀ – качество зрелого леса, занимающего один гектар в настоящее время. Напомним, что такие оценки качества имеют объективный смысл, так как соответствуют рыночным ценам, и будем выражать Q(t) прямо в рублях.

Предположим теперь, что искусственными посадками и уходом можно сократить период созревания на лет (напомним, что читается: приращение ). Тогда лес созреет через лет; добавочное преимущество состоит в том, что при искусственном разведении леса, исключающем "посредников" вроде березы, получается однородная древесина высокого качества. Оценка гектара леса составит при этом

Приращение цены леса, по сравнению с естественным ростом, равно

(где уменьшаемое больше вычитаемого – проверьте это!).

Чтобы оценить выигрыш от лесопосадки, заметим, что для ценных пород дерева τ составляет несколько сот лет, тогда как ускорение созревания, Δ τдаже при лучших технологиях, составляет примерно 30 – 40 лет. Будем считать и фиксированными, то есть остановимся на определенном виде деревьев и определенной технологии посадки и ухода за лесом. Тогда предыдущее выражение ΔQ становится функцией от одной переменной λ, которую мы обозначим η( λ) . Ясно, что η(0)=0, а при возрастающих значениях λ оба выражения e^-λt и e^{-λ( τ-Δτ)} стремятся к нулю, так что η(∞)=0. График функции η( λ) изображен на рисунке 3.

Можно показать, что наибольшее значение η – то есть наибольшая выгода от лесопосадок – достигается при

причем максимальное значение η равно

Рис.3

Последние две формулы легко получить с помощью дифференциального исчисления. Интересующая нас функция η(λ) обращается в нуль при λ=0 и при λ=∞, максимум ее достигается в точке, где η'(λ)=0, откуда и получается указанное выше значение λ_max. Подставив его в формулу для η(λ), находим выражение для η_max.

Таким образом, функция η(λ) возрастает от 0 до η_max , а затем убывает до нуля (при λ стремящемся к бесконечности).

Вопрос о целесообразности посадок леса зависит от их цены. Если посадка леса, вместе с уходом за ним, обходится в η₀ рублей за гектар, то (см. рис.3) посадки имеют смысл лишь в том случае, когда η(λ)>η₀, то есть выигрыш в оценке леса по достижении зрелости должен превышать расходы на посадку и уход. При этом находится область ( λ₁, λ₂), в которой η(λ)>η₀ (рис.3). Только для значений λ из этой области посадки леса экономически оправданы.

При слишком малых значениях λ (меньших λ₁) лес не сажают, что согласуется с практикой племенного общества: поскольку для такого общества лес, который достанется внукам и правнукам, имеет ту же оценку, посадка ничего не прибавит к его ценности. Не сажают лес и при слишком больших λ (бoльших λ₂), так как при высокой мере эгоизма люди мало заботятся о том, что вырастет после их смерти. К счастью, в странах Запада лес все еще сажают, но в России – уже почти нет.