Программирование на языке Пролог для искусственного интеллекта

Рис. 12.4. Отношение расширить: расширение дерева Дер до тех пор, пока f-оценка не превзойдет Предел, приводит к дереву Дер1.

Предложение, относящееся к случаю

Дер = л( В, F/G)

порождает всех преемников вершины В вместе со стоимостями дуг, ведущих в них из В. Процедура преемспис формирует список поддеревьев, соответствующих вершинам-преемникам, а также вычисляет их g- и f-оценки, как показано на рис. 12.5. Затем полученное таким образом дерево подвергается расширению с учетом ограничения Предел. Если преемников нет, то переменной ЕстьРеш придается значение "никогда" и в результате лист В покидается навсегда.

Другие отношения:

после( В, В1, С)	В1 — преемник вершины В; С — стоимость дуги, ведущей из В в В1.
h( В, H)	H — эвристическая оценка стоимости оптимального пути из вершины В в целевую вершину.
макс_f( Fмакс)	Fмакс — некоторое значение, задаваемое пользователем, про которое известно, что оно больше любой возможной f-оценки.

Рис. 12.5. Связь между g-оценкой вершины В и f- и g-оценками ее "детей" в пространстве состояний.

В следующих разделах мы покажем на примерах, как можно применить нашу программу поиска с предпочтением к конкретным задачам. А сейчас сделаем несколько заключительных замечаний общего характера относительно этой программы. Мы реализовали один из вариантов эвристического алгоритма, известного в литературе как А*-алгоритм (ссылки на литературу см. в конце главы). А*-алгоритм привлек внимание многих исследователей. Здесь мы приведем один важный результат, полученный в результате математического анализа А*-алгоритма:

Алгоритм поиска пути называют допустимым, если он всегда отыскивает оптимальное решение (т.е. путь минимальной стоимости) при условии, что такой путь существует. Наша реализация алгоритма поиска, пользуясь механизмом возвратов, выдает все существующие решения, поэтому, в нашем случае, условием допустимости следует считать оптимальность первого из найденных решений. Обозначим через h*(n) стоимость оптимального пути из произвольной вершины n в целевую вершину. Верна следующая теорема о допустимости А*-алгоритма: А*-алгоритм, использующий эвристическую функцию h, является допустимым, если

 h(n) ≤ h*(n)

для всех вершин n пространства состояний.

Этот результат имеет огромное практическое значение. Даже если нам не известно точное значение h*, нам достаточно найти какую-либо нижнюю грань h* и использовать ее в качестве h в А*-алгоритме — оптимальность решения будет гарантирована.

Существует тривиальная нижняя грань, а именно:

h(n) = 0,   для всех вершин n пространства состояний.

И при таком значении h допустимость гарантирована. Однако такая оценка не имеет никакой эвристической силы и ничем не помогает поиску. А*-алгоритм при h=0 ведет себя аналогично поиску в ширину. Он, действительно, превращается в поиск в ширину, если, кроме того, положить с(n, n')=1 для всех дуг (n, n') пространства состояний. Отсутствие эвристической силы оценки приводит к большой комбинаторной сложности алгоритма. Поэтому хотелось бы иметь такую оценку h, которая была бы нижней гранью h* (чтобы обеспечить допустимость) и, кроме того, была бы как можно ближе к h* (чтобы обеспечить эффективность). В идеальном случае, если бы нам была известна сама точная оценка h*, мы бы ее и использовали: А*-алгоритм, пользующийся h*, находит оптимальное решение сразу, без единого возврата.

Упражнение

12.1. Определите отношения после, цель и h для задачи поиска маршрута рис. 12.2. Посмотрите, как наш алгоритм поиска с предпочтением будет вести себя при решении этой задачи. 

12.2. Поиск c предпочтением применительно к головоломке "игра в восемь"