Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

В мае 2002 года я провел три дня в офисе АМИ в Пало-Альто, занимаясь тем, что просматривал видеозапись конференции 1996 года в Сиэтле. А через месяц после этого я был на рабочем совещании в Институте Куранта. Вычитание числа 1996 из числа 2002 дает шесть лет. «Вычитание» содержания конференции в Сиэтле из курантовского совещания показывает, что математики, собравшиеся в Институте Куранта, смогли показать не так много нового. Вообще-то это не слишком неожиданное заявление, и я никоим образом не придаю ему пренебрежительного или уничижительного оттенка. Деятельность, о которой идет речь, исключительно трудна. Прогресс в ней дается не быстро, а шесть лет — срок в истории математики небольшой. (Доказательство Последней теоремы Ферма потребовало 357 лет!) И кроме того, на совещании в Курантовском институте былияркие доклады молодых математиков, таких как Иван Фесенко.

Но основное впечатление все же свелось к тому, что наблюдается патовая ситуация. Как будто бы ГР представляла собой гору, на которую совершается восхождение, но с какого направления к ней ни подбираешься, рано или поздно застреваешь у края широкой и бездонной расселины. Я сбился со счета, пытаясь прикинуть, сколько раз, будь то в 1996 или в 2002 году, докладчик заканчивал свое выступление, буквально разводя руками: «Это, конечно, очень важное достижение, однако неясно, удастся ли перекинуть отсюда мостик к доказательству классической Гипотезы Римана…»

Сэр Майкл Берри, который знает толк в словах, ввел в обращение концепцию «кларитона», который он определяет как «элементарную частицу внезапного понимания». [207]В области ГР в настоящее время ощущается дефицит кларитонов.

Эндрю Одлыжко: «Сказано, что, кто бы ни доказал истинность Теоремы о распределении простых чисел, тот достигнет бессмертия. И верно: и Адамар, и де ля Валле Пуссен дожили до девяноста с лишним лет. Возможно, ГР не верна; но если кто нибудь сумеет доказатьее ложность — найти нуль вне критической прямой, — то он умрет на месте и о его результате никто никогда не узнает».

IV.

Если оставить в стороне вопрос о поиске доказательства, то каковы ощущенияматематиков насчет ГР? Что им подсказывает их интуиция? Верна ГР или нет? Что они по этому поводу думают? Я специально спрашивал всех математиков, с которыми удавалось поговорить, верят ли они в справедливость Гипотезы. Ответы образовали широкий спектр с довольно разнообразным набором собственных значений.

Для тех математиков, кто верит в ее справедливость (сюда относится, например, Хью Монтгомери), определяющую роль играет совокупная убедительность свидетельств в ее пользу. Но всем профессиональным математикам известно, что веские свидетельства и указания могут сыграть злую шутку. Имелись веские основания полагать, что Li (x)всегда превосходит (x), пока Литлвуд не показал в 1914 году, что это не так. Верно, скажут вам те, кто верует в ГР, но ведь то были всего лишь свидетельства, затрагивающие только одну нить, ведущую к ГР. Численные свидетельства вкупе с неподкрепленным предположением, что второй член — т.е. член с интегральным логарифмом - ¹/ ₂Li (x ^1/2 ) — будет и далее доминировать в разности, которая в силу этого будет оставаться отрицательной. А к самой Гипотезе ведет большее число нитей. На Гипотезе Римана основано огромное количество результатов, большинство из которых весьма разумны и — если использовать слово, которое особенно нравится математикам, — изящны. Имеются сотни теорем, которые начинаются словами «В предположении, что Гипотеза Римана верна…». Если ГР окажется ложной, то все они рассыплются. Это, понятно, было бы нежелательным, так что тех, кто верует, можно упрекнуть в выдавании желаемого за действительное, и, однако же, дело не в нежелании потерять все эти результаты, а в факте их существования. В веских свидетельствах.

Другие математики полагают (как полагал Алан Тьюринг), что ГР, скорее всего, не верна. Мартин Хаксли [208]— один из неверующих наших дней. Его неверие основано исключительно на интуитивных посылках — если процитировать аргумент, впервые выдвинутый Литлвудом, «Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из анализа, как правило, оказывается ложной. Остающаяся длительное время не доказанной гипотеза из алгебры, как правило, оказывается истинной».

Ответ, который мне нравится больше всех, принадлежит Эндрю Одлыжко. Ему я на самом деле задал этот вопрос впервые — он был первым математиком, к кому я обратился, когда вынашивал планы написания этой книги. Мы отправились ужинать в ресторан в городок Саммит в Нью-Джерси. Эндрю в то время работал в Белловских лабораториях (сейчас он в университете Миннесоты). Я в то время был новичком во всем, что касалось ГР, и мне приходилось много всего изучать. Покончив с превосходной итальянской едой и проведя два часа за серьезным разговором о математике, мы подошли к моменту, когда у меня больше не осталось, о чем спрашивать; тогда я сказал: