Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Видите, как аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, в то время как значения каждый раз увеличиваются путем умножения на 5? Это показательная функция. Аргументы увеличиваются «по сложению», а значения — «по умножению».

Я для удобства выбрал вариант, когда аргумент каждый раз увеличивается путем прибавления 1, и буду придерживаться его и далее. Для данной конкретной функции это приводит к умножению аргумента на 5. Разумеется, в числе 5 нет ничего специального. Можно было бы выбрать функцию, в которой множитель равен 2, или 22, или 761, или 1,05 (что, кстати, дало бы таблицу накопления сложных процентов при ставке в 5%), или даже 0,5. В каждом из случаев мы получим показательную функцию. Вот почему я сказал, что имеется некоторое «семейство функций».

Еще один термин, который математики обожают, — «канонический вид». В ситуации, подобной данной, когда имеется явление (в нашем случае — показательная функция), которое может проявляться многими различными способами, есть, вообще говоря, один способ, которым математики желают представить все явление. В данном случае вот какой. Есть однапоказательная функция, которую математики предпочитают всем остальным. Если бы вы принялись угадывать, то, наверное, предположили бы, что это та функция, в которой множителем является число 2 — самое простое в конце концов, на что можно умножить. Но нет! Канонический вид показательной функции, предпочтительный для математиков, имеет множитель 2,718281828459045235. Это еще одно магическое число наряду с ,которое проявляет себя во всех областях математики. [17]Оно уже встречалось нам в этой книге (см. главу 1.vii). Оно иррационально [18], так что последовательность знаков после запятой никогда не повторяется и его нельзя переписать в виде дроби. Символ eдля этого числа был введен Леонардом Эйлером, о котором будет много всего сказано в следующей главе.

Но почему именно это число? Не слишком ли оно неуклюже, чтобы с его помощью определять канонический вид? Разве не много проще было бы с числом 2? Да, наверное, для целей умножения было бы проще. Я не могу объяснить важность числа e, не вдаваясь в вычисления, а я дал торжественный обет объяснить Гипотезу Римана с минимумом вычислений. По этой причине я просто убедительно попрошу вас принять на веру, что e— действительно, действительноважное число и что ни одна другая показательная функция не может и близко сравниться с этой e ^N.Вот как выглядит наша таблица:

N	e N
1	2,718281828459
2	7,389056098931
3	20,085536923188
4	54,598150033144

(здесь точность — 12 знаков после запятой). Основной принцип, конечно, сохраняется — аргументы (левая колонка) растут каждый раз за счет добавления 1; при этом значения в правой колонке каждый раз умножаются на e.

VII.

А если наоборот? Представим себе функцию, основанную на таком правиле: когда аргумент растет «по умножению», значения растут «по сложению». Что за функция получится?

Здесь мы вступаем в царство обратныхфункций. Математики имеют особое пристрастие к тому, чтобы обращать самые разные вещи — выворачивать их наизнанку. Если уесть 8 умножить на x, то как выразить xчерез y? Понятно, что это y/8. Деление обратно умножению. Еще есть такое любимое нами действие, как возведение в квадрат, когда мы умножаем число само на себя. И каково же его обращение? Если y = x ², то чему равен xв терминах y? Ну да, это квадратный корень из y.Если вы немного знакомы с анализом, то знаете, что есть действие, называемое «дифференцированием», которое позволяет превратить функцию fв другую функцию — g, говорящую о том, какова мгновенная скорость изменения функции fпри каждом ее аргументе. И каково же действие, обратное дифференцированию? Это интегрирование. Ну и так далее. Обращение станет ключевой темой позднее, когда мы вникнем в работу Римана 1859 года.

С точки зрения принятого нами подхода, когда функции показаны в виде таблиц, обращение просто означает отражение таблицы, при котором ее правая часть становится левой, а левая — правой. Правда, это быстрый способ нажить себе неприятности. Возьмем функцию возведения в квадрат — скорее всего, первую нетривиальную функцию, с которой вы познакомились в школе. Чтобы возвести число в квадрат, мы умножаем его само на себя. Вот соответствующая таблица:

N	N 2
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9

(Я полагаю, что вы помните о правиле знаков, так что -3 умножить на -3 дает 9, а не -9). [19]А теперь поменяем колонки местами и получим обратную функцию:

N	N
9	-3
4	-2
1	-1
0	0
1	1
4	2
9	3

Но постойте-ка! Каково же значение функции при аргументе, равном 9? Это -3 или 3? Похоже, что эта функция принимает такой вид:

N	N
0	0
1	1, а может быть, -1
4	2 или, возможно, -2
9	3, или это может равняться -3?