Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

У нас здесь нет места, чтобы вдаваться в эти вещи. Мой совет — не думать о них слишком много. Это путь в безумие. (Действительно, Кантор закончил свои дни в лечебнице, хотя это и было в большей степени результатом врожденной предрасположенности к депрессии, усугубленной трудностями, с которыми его теории пробивались к признанию, нежели результатом слишком усердных размышлений о вещественной прямой. Его теории сейчас не подвергаются серьезным сомнениям.)

Но куда же нам теперь поместить комплексные числа? Вещественная прямая вся забита — и как забита! — рациональными и иррациональными числами. А ведь для каждого вещественного aимеется бесконечно много комплексных чисел вида a + bi,где bсвободно бегает себе вверх и вниз по вещественной прямой. Что же с ними делать?

Последнее замечание подсказывает ответ. Для каждого вещественного числа нам нужна прямая, а поскольку вещественных чисел бесконечно много, нам нужно бесконечно много таких прямых бок о бок друг с другом. Это означает, что нам требуется плоскость. Тогда как вещественные числа можно выстроить для парада вдоль прямой, для комплексных чисел требуется плоскость — которую, разумеется, называют «комплексной плоскостью». Каждое комплексное число изображается точкой где-то на этой плоскости.

Рисунок 11.2.Комплексная плоскость и точка zна ней (изображена точка -2,5 + 1,8 i); показаны ее модуль и фаза, а также сопряженное число.

Чаще всего комплексную плоскость рисуют так (рис. 11.2) что, вещественная прямая простирается с запада на восток. Под прямым углом к ней в направлении с юга на север проведена другая прямая, на которой живут все чисто мнимые числа: i, 2 i, 3 iи т.д. Чтобы добраться до числа a + bi,надо уйти на расстояние aна восток (на запад, если aотрицательно), а затем на расстояние bна север (на юг, если bотрицательно). Вещественная прямая и мнимая прямая (их чаще называют «вещественная ось» и «мнимая ось») пересекаются в нуле. Точки на вещественной оси имеют нулевую мнимую часть. Точки на мнимой оси имеют нулевую вещественную часть. Точка их пересечения — т.е. точка, расположенная на обеих осях, — имеет и вещественную, и мнимую части равными нулю. Это точка 0 + 0 i, т.е. попросту нуль.

Введем три новых профессиональных термина. Модулькомплексного числа — это расстояние по прямой от этого числа до нуля. Обозначается модуль как |z|, что произносится «модуль зет». По теореме Пифагора модуль комплексного числа a + biесть . Это всегда положительное вещественное число или нуль. Фазакомплексного числа — это угол, составленный с положительной частью вещественной оси, измеряемый в радианах. (Один радиан равен 57,29577951308232… градуса; 180 градусов — это радиан.) Фазу по соглашению считают углом, лежащим между -(не включая) до (включая), а обозначается она как (z). [93]У положительных вещественных чисел фаза равна нулю, у отрицательных вещественных она равна -, у положительных мнимых равна /2, а у отрицательных мнимых фаза равна -/2.

И наконец, комплексным сопряжениемкомплексного числа называется его зеркальное отображение относительно вещественной оси. Комплексное сопряжение числа a + biесть a - bi. Обозначается оно как z', что произносится как «зет-с-чертой». ^{2}Если перемножить комплексное число с его сопряженным, то получится вещественное число: (a + bi)x(a - bi) = a ²  + b ², что, как видно, есть квадрат модуля числа a+ bi. На этом и основан фокус, позволяющий делить комплексные числа. Используя введенные обозначения, можно записать zxz' = |z| ², а фокус с делением выражается как z/w = (zxw')/|w| ².

Модуль комплексного числа -2,5 + 1,8 i, показанного на рисунке 11.2, равен 9,49, то есть около 3,080584, фаза составляет 2,517569 радиана (или, если вам так больше нравится, 144,246113 градуса), а сопряженное число, конечно, есть -2,5 - 1,8 i.

VI.

Чтобы продемонстрировать комплексную плоскость в действии, я чуть-чуть потренируюсь в анализе с комплексными числами. Рассмотрим бесконечный ряд из выражения (9.2):

1/(1 -

x) = 1 + x+ x ²+ x ³+ x ⁴+ x ⁵+ x ⁶+ …( xлежит строго между -1 и 1).

Поскольку здесь не предпринимается никаких действий, кроме сложения, умножения и деления чисел, нет причин, по которым xнельзя было бы сделать комплексным числом. Работает ли эта формула для комплексных чисел? Да, при определенных условиях. Пусть, например, xравен ¹/ ₂ i. Тогда ряд сходится. Имеем

1/(1 -

i/2) = 1 +  ¹/ ₂ i+ ¹/ ₄ i ²+ ¹/ ₈ i ³+ ¹/ ₁₆ i ⁴+ ¹/ ₃₂ i ⁵+ ¹/ ₆₄ i ⁶+ …

Левая часть вычисляется с помощью рассмотренного выше фокуса с делением как 0,8 + 0,4 i. Правую часть можно упростить, используя тот факт, что i ² = -1:

0,8 + 0,4

i= 1 +  ¹/ ₂ i- ¹/ ₄+ ¹/ ₈ i- ¹/ ₁₆+ ¹/ ₃₂ i-  ¹/ ₆₄+ …