Простые числа

Но в отношении математических исследований есть действительно интересный момент: математики ведут себя как первопроходцы, вступающие в странный незнакомый мир, как будто математика на самом деле отделена от нашего мира. Это чувство неизведанного является самой сутью математических исследований и придает им поэтическую привлекательность. Немецкий физик Генрих Рудольф Герц (1857–1894) говорил: «Разве можно не испытывать такого чувства, будто математические формулы живут собственной жизнью, обладают собственным разумом? Кажется, что эти формулы умнее нас, умнее даже самого автора, что они дают нам больше, чем мы в них изначально заложили».

Философская, или, лучше сказать, эпистемологическая школа, которая считает, что идеи (в том числе математические истины) существуют независимо от нас, известна как платонизм. Это учение утверждает, что конкретные воплощения существуют до тех пор, пока находятся в присутствии абстрактной идеи.

История математики, похоже, подтверждает эту теорию неоспоримым фактом универсальности математики: различные цивилизации в разные периоды истории и в разных концах света, как правило, приходят к одним и тем же заключениям и истинам. В случае простых чисел существует интересный артефакт, который можно назвать археологическим экспонатом математики: кость Ишанго.

Существуют ли простые числа сами по себе, вне человеческого разума? Этот вопрос занимал немецкого физика Генриха Рудольфа Герца.

* * *

КОСТЬ ИШАНГО

Кость Ишанго, возможно, берцовая кость бабуина, с первого взгляда выглядит как некий инструмент. Она имеет рукоятку, за которую ее удобно держать, и заостренный кристалл кварца на конце. Она была найдена у истоков Нила, на границе между Угандой и Демократической Республикой Конго, и принадлежала первобытному племени, погребенному извержением вулкана. Этому инструменту около 20000 лет.

Кость Ишанго выставлена в бельгийском музее естественных наук в Брюсселе.

* * *

На кости имеются насечки в виде коротких прямых линий. Их детальное изучение привело к гипотезе, что эта кость не инструмент, а численная система для помощи в счете. В таком случае вполне вероятно, что кварцевый наконечник использовался для написания неких цифр. Другими словами, эта кость являлась примитивным калькулятором. Расположение насечек по столбцам предполагает операции сложения и умножения в системе счисления с основанием 12. Все числа справа — нечетные, но самое удивительное, что все числа слева являются простыми из промежутка от 10 до 20. Маловероятно, что эти знаки нанесены случайно, скорее всего, они указывают на существование некоторого серьезного метода вычислений.

Кость Ишанго в виде диаграммы, показывающей распределение насечек по трем столбцам. Кость, вероятно, использовалась для выполнения математических расчетов.

Напомним, что понятие простого числа требует абстрактного мышления, выходящего за рамки простого счета.

Вопрос о существовании математических истин независимо от человека имеет третий компромиссный ответ, который допускает возможность того, что действительно существуют математические идеи, которые могут быть открыты, но они являются «психическими понятиями», предопределенными нашим генетическим наследием. Если это так, некоторые примитивные формы этих понятий должны существовать в природе. Например, существует несколько видов животных, которые совершенно точно могут считать. Одиночные осы могут подсчитывать количество живых гусениц, которых они оставляют рядом со своими яйцами в качестве пищи для вылупившихся личинок: это всегда в точности 5, 12 или 24. У ос рода Eumenes мы встречаем еще более удивительные примеры. Оса знает, какая особь вылупится из отложенного яйца: мужская или женская. Неясно, как ей удается установить пол будущего потомства, так как норки, в которых она откладывает яйца, совершенно одинаковы. Но самое удивительное, что оса оставляет пять гусениц рядом с яйцом мужской особи и десять — рядом с яйцом женской особи. Причина такого различия в том, что женские особи вырастают до гораздо больших размеров, чем мужские.