Против богов: Укрощение риска

Фридрих был в восхищении от книги Фибоначчи. Как-то в 1220-х годах во время визита в Пизу он пожелал его увидеть. На аудиенции Фибоначчи решал алгебраические задачи, в том числе кубические уравнения, поочередно предлагаемые ему одним из многих придворных ученых. Это побудило его написать еще одну книгу — «Liber Quadratorum», или «Книгу о квадратах», которую он посвятил императору.

Фибоначчи широко известен благодаря короткому отрывку из «Liber Abaci», содержание которого производит впечатление математического чуда. В отрывке обсуждается задача о том, сколько кроликов родится в течение года от одной пары кроликов в предположении, что каждый месяц каждая пара рождает другую пару и что кролики начинают рожать с двухмесячного возраста. Фибоначчи доказывает, что в этом случае потомство исходной пары к концу года достигнет 233 пар.

Дальше он утверждает нечто еще более интересное. Предположим, что первая пара кроликов не будет размножаться до второго месяца. К четвертому месяцу начнут размножаться их первые двое отпрысков. Коль скоро процесс продолжится, числа пар в конце каждого месяца будут такими: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Здесь каждое последующее число является суммой двух предыдущих. Если кролики продолжат в том же духе в течение ста месяцев, число пар достигнет 354 224 848 179 261 915 075.

Этим не исчерпываются изумительные свойства чисел Фибоначчи. Разделим каждое из них на следующее за ним. Начиная с 3, будем получать 0,625. После 89 ответ будет 0,618; с увеличением чисел в ответе будет возрастать лишь число десятичных знаков после запятой.^{1}.

Разделим теперь каждое число, начиная с 2, на предыдущее. Будем получать 1,6. После 144 ответ будет всегда 1,618.

Греки знали это соотношение и называли его золотой пропорцией. Эта величина определяет пропорции Пантеона, игральных карт и кредитных карточек и здания Генеральной Ассамблеи Организации Объединенных Наций в Нью-Йорке. Горизонтальная перекладина большинства христианских крестов делит вертикальную в том же отношении: длина над перекладиной составляет 61,8% от длины под пересечением. Золотая пропорция обнаруживается также в природных явлениях — в цветочных лепестках, в листьях артишока, в черешках пальмовых листьев. Отношение длины части тела человека выше пупка к длине части ниже пупка у нормально сложенного человека равно 0,618. Длина фаланг пальцев, если последовательно идти от кончиков до ладони, соотносится так же ^{2}.

Одним из наиболее романтичных воплощений отношения Фибоначчи являются пропорции и форма чудесной спирали. На приведенном рисунке видно, как она формируется на основе ряда квадратов, длины сторон которых определяются рядом Фибоначчи. Процесс начинается с построения двух маленьких квадратов одинакового размера.

Построение равноугольной спирали с использованием чисел Фибоначчи

Начнем с квадрата со стороной, равной единице, пристроим к нему другой такой же квадрат, к ним пристроим квадрат со стороной, равной 2, к ним пристроим квадрат со стороной, равной 3. Продолжая в том же духе, получим квадраты со сторонами, равными 5, 8, 13, 21, 34 и так далее.

(Воспроизводится с разрешения Fascinating Fibonaccis by Trudy Hammel Garland; © 1987 by Dale Seymour Publications, P. O. Box 10888, Palo Alto, CA 94303.)

На основе двух их сторон строится примыкающий к ним квадрат со стороной удвоенного размера, затем квадраты со сторонами утроенного, упятеренного и т.д. размера. Заметьте, что таким образом строится последовательность прямоугольников, причем отношения между сторонами следующих друг за другом членов последовательности образуют золотую пропорцию. Затем соединяем противоположные углы квадратов, начиная с наименьшего, дугами, являющимися продолжением друг друга, и получаем спираль.

Нам знакома эта спираль, повторяемая в форме некоторых галактик, бараньего рога, многих морских раковин или гребешков океанских волн, по которым скользят любители серфинга. Способ построения делает ее форму неизменной, и она не зависит от размера первого квадрата, с которого началось построение: форма с ростом не меняется. Журналист Уильям Хоффер заметил: «Большая золотая спираль кажется естественным способом наращивания количества без изменения качества»^[2].