Против богов: Укрощение риска

По-видимому, наибольшую славу Ферма принесло нацарапанное на полях «Арифметики» Диофанта утверждение, известное как великая теорема Ферма. Несмотря на трудность его доказательства, суть этого утверждения изложить несложно.

Греческий математик Пифагор впервые показал, что квадрат наибольшей стороны прямоугольного треугольника, гипотенузы, равен сумме квадратов двух других его сторон. Диофант, один из древнейших исследователей квадратных уравнений, написал сходное выражение:х⁴ + y⁴ + z⁴ = и². «Почему, — спрашивает Ферма, — Диофант не искал две [вместо трех] четвертых степени, дающих в сумме квадрат некоего числа? Дело в том, что это невозможно, и мой метод дает возможность доказать это со всей строгостью»^[11]. Ферма заметил, что Пифагор был прав, написав а² + Ь² = с², но а³ + Ь³ не будут равны с³ и ни для одного показателя степени, большего чем 2, такое равенство не будет выполняться: теорема Пифагора верна только для квадратов.

И затем Ферма написал на полях книги:

«У меня есть прекрасное доказательство этого утверждения, но здесь негде его записать»^[12].

Этой короткой фразой он ошарашил математиков, которые вот уже 350 лет пытаются найти теоретическое доказательство утверждения, получившего многочисленные эмпирические подтверждения. В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс (Wiles) заявил, что он решил эту головоломную задачу после семи лет работы в Принстоне. Его результаты были опубликованы в «Annals of Mathematics» в мае 1995 года, но математики всё еще спорят относительно того, что он, собственно, получил.

Великая теорема Ферма представляет собой скорее курьез, чем постижение окружающего мира. А вот решение, которое Ферма и Паскаль разработали для задачи о разделе банка в незавершенной игре, до сих пор приносит пользу обществу в качестве краеугольного камня современной системы страхования и других форм управления риском.

***

Решение задачи об очках основывается на том, что игрок, опережающий противника в момент остановки игры, имеет больше шансов на победу, если игра продолжится. Но насколько больше? Насколько малы шансы отстающего игрока? Как, в конце концов, перекинуть мост от этой задачи к науке прогнозирования?

Переписка Паскаля и Ферма, которую они вели по этому поводу в 1654 году, обозначила эпохальное событие в истории математики и теории вероятностей ^{1}. Удовлетворяя любопытство, проявленное к этой старой проблеме шевалье де Мере, они создали систематический метод анализа ожидаемых исходов. Поскольку может произойти больше вещей, чем происходит на самом деле, Паскаль и Ферма предложили процедуру определения вероятности каждого из возможных результатов при допущении, что исходы могут быть оценены математически.

Они подошли к проблеме с разных позиций. Ферма обратился к чистой алгебре. Паскаль оказался более изобретательным: он использовал геометрическую форму для представления алгебраических структур. Его методология проста и приложима к широкому спектру проблем теории вероятностей.

Основная математическая идея, стоящая за этим геометрическим представлением алгебраических соотношений, зародилась задолго до Паскаля и Ферма. Омар Хайям обсуждал ее примерно на 450 лет раньше. В 1303 году китайский математик Ху Шайчи, явно не претендуя на оригинальность, подошел к проблеме с помощью способа представления, который он называл «правдивое зеркало четырех элементов». Кардано тоже знал об этом методе^[13].

Правдивое зеркало Ху приобрело известность как треугольник Паскаля. «Пусть кто-нибудь попробует утверждать, что я не сказал ничего нового, — с гордостью пишет Паскаль в автобиографии. — Новшеством является трактовка предмета. Когда мы играем в теннис, мяч у нас общий, но один из нас играет лучше»^[14].

С первого взгляда на треугольник Паскаля рябит в глазах, но его структура достаточно проста: каждое число равно сумме двух чисел, расположенных над ним справа и слева.

Вероятностный анализ начинается с вычисления числа возможных ситуаций, обеспечивающих определенный исход некоего события — circuit Кардано ^{*1}. Именно эта совокупность и представлена последовательностью чисел в каждой строке треугольника Паскаля. Первая строка представляет вероятность события, которое не может не произойти. Здесь возможен только один исход с нулевой неопределенностью; это, по сути, не относится к вероятностному анализу. Вторая строка уже представляет вероятностную ситуацию с шансами 50 на 50: вероятность исхода в ситуации, подобной рождению мальчика или девочки в семье, планирующей иметь только одного ребенка, или вероятность того, что при одном броске монеты вам выпадет именно орел или решка. При наличии только двух возможных исходов результат может быть тот или иной: мальчик или девочка, орел или решка; вероятность рождения мальчика, а не девочки или выпадения орла, а не решки равна 50%.