Психология процесса изобретения в математике

Итак, каждый этап исследования должен как бы сочленяться со следующими этапами с помощью результата, выраженного в точной форме, который я предложил бы назвать результатом-эстафетой (или формулой-эстафетой, если это формула, как в ньютоновской интерпретации третьего закона Кеплера). Когда удаётся достигнуть такого сочленения, аналогичного стыковке путей на развилке железной дороги, нужно решить, в каком направлении должно продолжаться исследование. Здесь эти разветвления ясно показывают направляющее действие того сознательного «я», считать которое низшим по отношению к бессознательному мы могли бы быть склонны.

Сделанные выше замечания могут показаться до некоторой степени очевидными и даже ребяческими; но небесполезно заметить, что они нам помогают понять не только процессы, происходящие в уме любого исследователя, но и общую структуру математики. Её продвижение вперёд было бы невозможным не только без проверки результатов, но особенно без систематического использования того, что мы только что назвали результатами-эстафетами, которые очень часто используются настолько, насколько это возможно, вплоть до их крайних следствий. Такова, например, роль простого и классического факта, что, пересекая треугольник прямой, параллельной одной из его сторон, получают другой треугольник, подобный данному — факт, очевидный сам по себе, но который должен быть строго сформулирован, чтобы дать длинный ряд свойств, которые из него вытекают.

ГЛАВА VI ОТКРЫТИЕ КАК СИНТЕЗ. ПОМОЩЬ ЗНАКОВ

Синтез в открытии

Поль Сурьё пишет 56: «Знает ли алгебраист, что происходит с его идеями, когда с помощью знаков он их вводит в свои формулы? Прослеживает ли он за ними на протяжении всех этапов, которые он осуществляет? Без сомнения, нет. Он их тотчас же теряет из поля зрения. Он заботится лишь о том, чтобы упорядочивать и комбинировать, в соответствии с известными правилами, материальные знаки, находящиеся у него перед глазами; и он принимает полученный результат как вполне надёжный».

В своих исследованиях математики видят вещи под иным, во многом, углом зрения. Не то, чтобы утверждение Сурьё было полностью ошибочным. Можно грубо считать его верным применительно к конечному этапу проверки и «завершения», о котором уже говорилось в предыдущей главе; но даже в этом случае не всё происходит так, как он это говорит. Математик не оказывает такого слепого доверия результатам, полученным на основании известных правил; он знает, что ошибки в вычислениях возможны и даже часты. Если целью вычисления является проверка результата, который предвидело бессознательное или подсознательное, и если эта проверка не удалась, то нисколько не исключено, что первый подсчёт ошибочен, а вдохновение право.

Если же применить это рассуждение не к финальной фазе, а к исследовательской работе вообще, то поведение, описанное Сурьё, является поведением ученика (и даже довольно плохого). Действительный ход мысли при построении математического рассуждения надо, скорее, сравнить с процессом, о котором мы упоминали в гл. II, а именно, с узнаванием чужого лица. Промежуточный случай, иллюстрирующий аналогию этих двух процессов, даёт изучение психологии шахматистов, некоторые из которых способны играть одновременно десять или двенадцать партий, не видя шахматных досок. Рядом исследователей, в частности Альфредом Бинэ 57, проводились специальные исследования с целью понять, как это происходит. Результаты этих исследований можно резюмировать так: для многих из этих шахматистов каждая партия имеет своё лицо, которое позволяет ему думать о ней как о чём-то едином, как бы сложна она ни была, точно так же, как мы видим лицо человека в целом.

Такое же явление обязательно происходит при изобретениях любого вида. Мы это видели в письме Моцарта (гл. I); подобные заявления были сделаны такими художниками, как Энгр и Роден (их цитирует Анри Делакруа, «Изобретение и гений»). Но тогда как Моцарт, любимец муз, не нуждается, кажется, ни в малейшем усилии, чтобы представить себе своё произведение как единое целое, Роден пишет: «Нужно, чтобы до конца своей работы, он (скульптор) энергично удерживал в полном свете своего сознания свою идею ансамбля с тем, чтобы непрерывно пополнять её мельчайшими деталями своего произведения и увязывать их с нею. И без очень напряжённого усилия мысли дело идёт плохо».

Точно так же, всякое математическое рассуждение, как бы сложно оно ни было, должно мне представляться чем-то единым; у меня нет ощущения, что я его понял, до тех пор, пока я его не почувствовал как единую, общую идею. И, к сожалению, это часто требует от меня, как и от Родена, более или менее мучительного усилия мысли.

Использование знаков