Психология процесса изобретения в математике

Другие стадии исследования

Что происходит во время периода инкубации, когда действуют более глубокие слои бессознательного? Естественно, мы не располагаем прямым ответом, но есть все основания предполагать, что и в данном случае работает аналогичный механизм, поскольку он, видимо, наилучшим образом может удовлетворить двойному условию (а) и (б) ( стр. 71), которое должно быть выполнено.

Уатт 77 отмечал, что образ и его значение должны быть частично связаны и в то же время независимы. Мне кажется, что такой тип одновременной взаимосвязи и независимости объясняется вмешательством краевого сознания.

Затем следует этап проверки и «завершения». На этом окончательном этапе я могу использовать алгебраические знаки; но достаточно часто я их не использую общепринятым и нормальным образом. Я не трачу времени на то, чтобы полностью записывать уравнения — моя единственная забота состоит в том, чтобы увидеть, так сказать, какой вид они имеют. Эти уравнения (или некоторые из их членов) часто бывают расположены весьма странным образом, как актёры на сцене, благодаря чему они мне «говорят», пока я продолжаю их рассматривать. Но если, после перерыва в работе, я рассматриваю эти каракули на следующий день, то они «мертвы» для меня. Обычно мне остаётся лишь бросить лист и начать всё сначала, если только накануне я не получил одну или две формулы, которые я полностью проверил и которые я могу использовать как формулы-эстафеты.

Что касается слов, то они полностью отсутствуют моём мозгу до того момента, когда я начинаю сообщать эти результаты в устной или письменной форме или (очень редко) как результаты-эстафеты; в этом последнем случае они могут играть, как заметил Уильям Гамильтон, роль посредника, «необходимого, чтобы придать стабильность нашему умственному процессу, чтобы сделать из каждого нашего шага новую отправную точку для дальнейшего движения вперёд» — в чём Гамильтон прав, с той лишь оговоркой, что эту роль может играть не любой результат-эстафета 78.

Другая концепция

Узнав немного о школе бихевиористов, я заинтересовался, какой точки зрения они придерживаются по вопросу, который мы обсуждаем, и согласны ли они с моими наблюдениями. Мне кажется, что с точки зрения бихевиоризма мышление словами не является необходимым, но, с другой стороны, наши мысли могли бы «состоять» из мускульных движений, как, например, пожиманий плечами, движений век или глаз и т. д.

Я не могу припомнить движений такого рода во время моей исследовательской работы. Естественно, я не могу наблюдать свои движения, будучи глубоко погружён в работу, но свидетели моей частной жизни и работы могут подтвердить, что никогда не видели ничего подобного. Они лишь замечали «отсутствующий» взгляд, который у меня часто бывает, когда я напряжённо работаю. Я могу лишь сказать, что не представляю себе такого типа движений, которые могли бы мне помочь иметь ясную точку зрения на ход более или менее сложных рассуждений; в то время как мы видели, что умственные образы, наоборот, явно способны помочь этому.

Анкета среди математиков

По этому вопросу было бы естественно опросить математиков. К сожалению, я не мог опросить французских математиков, так как занялся этой проблемой лишь после отъезда из Европы (эта книга была написана в 1943–1944 гг.).

Для математиков, которых я опросил в Америке, явления в большинстве своём аналогичны тем, которые я заметил на собственном опыте. Практически все — в противоположность тому заключению Гальтона, к которому его привёл опрос случайных людей, — избегают не только мысленного употребления слов, но так же, как и я, мысленного употребления точных алгебраических или других знаков; как и я, они используют расплывчатые образы. Имеется два или три исключения, самым важным из которых является математик Джордж Биркгоф, один из наиболее выдающихся во всём мире, который имеет привычку представлять себе математические знаки и мысленно с ними работать. Норберт Винер отметил, что ему случается думать и со словами, и без слов. Джесси Дуглас обычно думает без слов и алгебраических знаков; в конце работы его мысль связывается со словами, но лишь с их ритмом, в результате чего получается своего рода азбука Морзе, где отчётливо лишь число слогов. Конечно, это не имеет ничего общего с тезисом Макса Мюллера и скорее похоже на употребление Гальтоном слов без смысла.

Естественно, я опросил и одного из самых авторитетных учёных нашей эпохи — профессора Эйнштейна 79. Вот его ответ:

«В этом письме я пытаюсь кратко и по мере моих сил ответить на ваши вопросы, но я сам не удовлетворён своими ответами…