Пуанкаре

В то же время истощающее, с полной отдачей сил соревнование с Пуанкаре дорого обошлось Клейну, вызвав сильнейшее нервное переутомление, за которым последовала глубокая депрессия. Под угрозой оказалась вся его последующая научная карьера. «Цена, которую мне пришлось заплатить за мои работы, была, во всяком случае, очень велика, так как мое здоровье оказалось совершенно расшатанным, — признается он много лет спустя. — В последующие годы мне приходилось брать несколько раз продолжительные отпуска и отказаться от всякой творческой деятельности. Только к осени 1884 года положение несколько улучшилось, но прежней степени творческой активности я уже не достиг никогда». По свидетельству некоторых немецких математиков, работавших с Ф. Клейном в последующий период его жизни, он утратил способность доводить свое исследование до логического конца. Его все меньше интересовали важные для каждого работающего математика вопросы математической техники.

Поле боя осталось за Пуанкаре. До 1884 года он опубликовал пять больших работ о новых функциях и соответствующих им группах. Когда настало время дать имя новооткрытым берегам математического континента, Пуанкаре недолго колебался. Группы и функции, на возможность существования которых первым обратил внимание Клейн, названы им клейновыми. Недвусмысленный вызов тем из его соотечественников, кто незадолго до этого возмущался названием «фуксовы функции». Клейн неправильно истолковал этот жест французского коллеги, и по ответному письму Пуанкаре от 4 апреля 1882 года чувствуется, как он неприятно задет таким совершенным (в некотором роде даже оскорбительным) непониманием его лучших побуждений. «Если я дал ваше имя клейновым функциям, то это по причинам, которые я привел, а не по тем, на которые вы намекаете (zur Entschadigung[13]), так как мне нечего вам компенсировать… Я надеюсь, что наша борьба, оружием в которой является вежливость и которой мы предались только лишь из-за имени, не изменит наших добрых отношений. Было бы смешно к тому же дискутировать все время из-за имени, „имя — только дым и звук“.[14] А после всего этого мне безразлично, поступайте, как вы находите нужным, я буду делать, со своей стороны, как мне желательно…» Видно, что Пуанкаре уже отчаялся в своих попытках убедить самого Клейна и представителей его школы в обоснованности даваемых им имен. Названия эти так и не привились. В современных математических трудах уже не встретишь термин «фуксовы функции». Присоединяясь к мнению Клейна, ученые называют их автоморфными функциями.

Возвращение в Париж

Почти два года провел Анри в Кане. Этот период оказался весьма важным, если не решающим, для его последующей судьбы. Именно здесь произошли те свершения, которые на долгие годы определили его жизнь и научную деятельность. Дебют молодого математика был весьма впечатляющим. В нем уже чувствовалась заявка на свое творческое кредо, на свой, индивидуальный стиль научного мышления. Развитый им подход оценивали впоследствии как «дерзкий поступок двадцатисемилетнего ученого, осмелившегося порвать с полувековой традицией».

Теория фуксовых функций, как продукт тесного переплетения и взаимопроникновения самых различных идей и методов, родилась на перекрестке ведущих математических теорий прошлого столетия: теории дифференциальных уравнений, теории инвариантов, неевклидовой геометрии, теории групп, теории эллиптических функций. Вчерашний студент, перешагнув через переходный этап, сразу же явил ученому миру зрелость вполне сложившегося таланта, с широким кругозором и необычайным многообразием своих внутренних возможностей. Не имеет даже смысла говорить о «раннем Пуанкаре», такого Пуанкаре попросту не было, не было периода первоначальных исканий и ученичества, который принято называть «порой надежд». От самого порога. Горной школы он вышел на уровень лучших математиков своего времени.

Фуксовы функции составили первую главу в научном наследии знаменитого ученого. «Именно этой первой главе и суждено было несколько десятилетий спустя первой достичь того состояния, когда о математической теории начинают говорить, что она уже „стала классической“, — пишет Г. Фрейденталь. Эллиптические функции, считавшиеся до этого одним из прекраснейших достижений математики XIX века, оказались теперь частным случаем фуксовых функций, созданных в результате грандиозного обобщения, предпринятого Пуанкаре. Открытие этих функций позволило решить одну из важнейших проблем математического естествознания — интегрирование линейных дифференциальных уравнений с алгебраическими коэффициентами. С этой целью Пуанкаре и начал свои исследования. Однако значение фуксовых, ныне автоморфных, функций выходит далеко за рамки этого приложения.