Пуанкаре

Фукс отвечает вторым, на этот раз последним письмом, в котором сообщает, что в июле в печати появится его новая работа, делающая «излишней всю эту обширную дискуссию». Поспешив закрыть полемику, он не осознает еще всей серьезности ситуации, упорно отказывается признать обнаруженные у него грубые ошибки. Его больше волнует внимание со стороны Эрмита, чем придирки молодого коллеги: «Само собою разумеется, что вы можете показать мое послание Эрмиту. Интерес, который проявляет этот великий математик к моей работе, является для меня высшим удовлетворением…» Впрочем, Фукс не возражает против присвоения новым функциям его имени: «Вы имели доброту дать мое имя этим функциям, что является для меня большой честью и обязывает меня поблагодарить вас за это».

В двух своих следующих письмах Пуанкаре дает уже подробное описание самой функции, что показывает, насколько далеко продвинулся он в разработке этого вопроса. «…Фуксова функция имеет большую аналогию с эллиптическими функциями, — пишет Анри, — она существует лишь внутри определенной окружности и остается мероморфной внутри этой окружности. Она выражается на всей окружности частным двух сходящихся рядов». Термин «фуксова функция» здесь уже встречается неоднократно.

Работа Фукса послужила для Пуанкаре отправной точкой, но насколько смелее, дерзновеннее и изобретательнее оказался он в исконных владениях немецкого математика. За строчками прочитанной им статьи Анри увидел много больше того, что было написано, и, как оказалось впоследствии, много больше того, что представлял себе сам автор. Фукс лишь указал на возможность существования нового вида функций, оставалось доказать, что они действительно существуют, и сконструировать эти функции практически. По существу, надо было проделать полностью всю работу — приступить к разработке проблемы и закончить ее. Пуанкаре блестяще справился с этой задачей. Мысль Фукса упала на подготовленную почву, поэтому тут же развилась и стала плодоносить. Анри успел уже глубоко вдуматься в проблему интегрирования дифференциальных уравнений, когда статья Фукса указала ему направление приложения сил. Она сыграла роль железнодорожной стрелки, которую он проскочил настолько стремительно, что, если бы не его собственные признания, вряд ли кто-нибудь угадал бы в последующих результатах Пуанкаре какие-то отзвуки работ немецкого математика. Слишком далеко вперед ушел он в своих исследованиях.

К теории новых фуксовых функций Пуанкаре пришел на основе обобщения понятия эллиптических функций. Он сам свидетельствует об этом: «…путеводной нитью в моих поисках мне служила аналогия с эллиптическими функциями». Сами же эллиптические функции обобщают понятие простых периодических функций. Примером простейшей периодической функции является математическая запись колебаний маятника. Если заставить слабо раскачивающийся маятник чертить своим концом непрерывную линию на равномерно движущейся бумажной ленте, то он изобразит извилистую, волнообразную кривую, монотонное чередование гребней и впадин. Так представляются графически синус и косинус, хорошо известные периодические функции из разряда трансцендентных, определяющие зависимость величины отклонения маятника от времени.

Время, за которое маятник, совершив полное колебание, возвращается в исходное положение, называют периодом. Если точно через период бросать взгляд на маятник, то невозможно угадать, движется он или нет: маятник каждый раз оказывается в одном и том же положении. Периодическая функция тоже нечувствительна к изменению своей переменной величины на период. Сколько периодов ни приплюсовывай к какому-нибудь моменту времени, значение функции остается тем же самым, так как в конце каждого периода она возвращается к тому, с чего этот период начинала. Чтобы построить полный график такой функции, достаточно иметь лишь небольшой его участок — укладывающиеся на одном периоде гребень и провал. Ведь вся волнообразная линия, вычерчиваемая маятником, представляет собой не что иное, как последовательное повторение одной и той же «волны» длительностью в период. Сдвигая по оси времени отрезок, равный периоду, и каждый раз воспроизводя над ним стандартную «волну», можно как угодно далеко протянуть кривую синуса или косинуса.

Этому простому понятию периодичности в первой половине XIX века был придан более общий смысл. В 1827 году гениальный норвежский математик Нильс Генрик Абель приступил к разработке теории эллиптических функций. Его исследования подхватил молодой кенигсбергский профессор Карл Густав Якоби. Трудами этих двух ученых в математику были введены совершенно новые трансцендентные функции, двоякопериодические.