Путешествие к далеким мирам

Эту же задачу можно решить и иначе. Если высота спутника не меняется, то это значит, что его центростремительное ускорение в точности равно ускорению земного тяготения. (Это вовсе не означает, как иногда пишут, что центробежная сила «уравновешивает» вес спутника.)

Следовательно,

и

V_окp= g₀R,

как и ранее.

Как изменяется круговая скорость с высотой орбиты спутника?

Очевидно; на высоте  Н

V_кp = g(R+H)

Но так как то

Это значит, что круговая скорость изменяется обратно пропорционально корню квадратному из расстояния до центра Земли.

Высота Н в км	Круговая скорость Vкр. в м/сек
0	7 910
255	7 760
1 000	7 360
1 670	7 040
35 800	3 080
384 000 (орбита Луны)	1 010

Б. Период обращения спутника

Время, за которое спутник совершит один полный оборот вокруг Земли, равно, очевидно, длине пути за оборот, деленной на круговую скорость:

( Т— так называемый сидерический, или звездный, период обращения).

Но вследствие чего

Подстановка значений R и g ₀ дает следующую довольно точную для приближенных расчетов формулу:

T  0,01 ( R+H) ^3/2

Высота Н в км	Период обращения спутника Т в сек
0	5 070 (1,4 часа)
255	5 400 (1,5 часа)
1 000	6 340 (1,76 часа)
1 670	7 200 (2 часа)
35 800	86 400 (24 часа)
384 000	2,36·10 6 (27,3 суток)

III. СКОРОСТЬ ОТРЫВА (ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ)

Скорость отрыва (или параболическая скорость) есть та скорость, которая должна быть сообщена телу у поверхности Земли, чтобы полностью преодолеть поле земного тяготения — удалить тело в бесконечность.

Величина скорости отрыва V _отр. определяется тем, что кинетическая энергия тела должна в этом случае в точности равняться работе преодоления поля тяготения; с помощью высшей математики получаем:

то есть работа полного преодоления поля земного тяготения равна работе поднятия тела при постоянном ускорении силы тяжести, равном его значению у земной поверхности g ₀, на высоту земного радиуса  R.

Так как g ₀R есть круговая скорость, то скорость отрыва  V _отp. в 1,41 раза больше круговой скорости:

V_отр. = 2  V _кр = 1,41· V _кр

Высота Н в км	Скорость отрыва У отр. в км/сек
0	11,2
300	10,9
1 000	10,4
1 670	9,9
35 800	4,3
384 000	1,42

IV. ОБЩИЙ ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО КОРАБЛЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ОДНОГО НЕБЕСНОГО ТЕЛА

Примеры движения по кругу или по параболе, о которых шла речь выше, являются лишь частными случаями движения тела в поле тяготения небесного тела большой массы. Как известно из небесной механики, в общем случае орбитой такого движения является одна из кривых второго порядка (так называемых конических сечений): круг, эллипс, парабола или гипербола. Общий закон этого движения дается следующей формулой (так называемое уравнение живых сил, упрощенное для случая космического корабля, то есть тела небольшой массы):

или где  V— скорость движения тела массы пренебрежимо малой по сравнению с  М;

М— масса небесного тела;

f — гравитационная постоянная;

L— расстояние до центра тяжести небесного тела;

а— большая полуось орбиты;

g₀ — ускорение силы тяжести на поверхности небесного тела на расстоянии  R ₀ от его центра.

Как видно из формул, характер орбиты зависит лишь от величины, но не направления скорости  V. Различные типы орбит соответствуют следующим частным случаям:

а)  а = ,

орбита — парабола;

б)  а > ,  V < V _параб., орбита — эллипс;

в)  L = а, V = V _круг =

частный случай эллиптической орбиты — круговая;

г) а < ,  V> V _параб., орбита — гипербола (V  _гиперб.).

Примеры использования формулы

По какой орбите будет двигаться космический корабль, летящий на расстоянии 100 000 км от центра Земли со скоростью 5 км/сек?

По формуле откуда a  — 24 000;

так как а < , то  V = V _гиперб., орбита — гипербола.

V. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ

Наиболее важными для астронавтики являются эллиптические орбиты, по которым будут двигаться не только все новые искусственные спутники Земли, но чаще всего и космические корабли. Полет по гиперболической орбите — дело более отдаленного будущего (советская космическая ракета, запущенная 2 января 1959 года, летела в поле земного тяготения по гиперболе, а вокруг Солнца движется по эллипсу).

Формулы расчета эллиптических орбит могут быть получены из приведенного выше уравнения живых сил путем упрощений;

для движения вокруг Солнца:

где  V— в км/сек,

L,a— в астрономических единицах (1 а. е. — расстояние от Земли до Солнца, равное примерно 150·10 ⁶  км);

для движения вокруг Земли:

где  V— в км/сек,