Путешествие по Карликании и Аль-Джебре

Я поглядел и увидел, что два Цэ (у одного на палке три кольца, у другого — шесть) стали рядом и между ними появился знак умножения — точка. И тут на поле выбежали еще девять Цэ. У этих на палках было только по одному кольцу. Трое из них встали на место Цэ с тремя кольцами, а шестеро заменили Цэ с шестью кольцами. Тогда пекарь с пустой палкой отделился от них знаком равенства и стал следом за ними. А первые два пекаря отдали ему свои кольца и получилось вот что:

 На этот раз и вправду все было понятно: Цэ в третьей степени, умноженное на Цэ в шестой, — это все равно, что Цэ, умноженное само на себя девять раз, или попросту Цэ в девятой степени.

Потом началось деление степеней. На поле выкатили двухэтажную тележку. На верхнюю площадку вскочил жонглер с тремя кольцами на палке — числитель, на нижнюю — жонглер с двумя кольцами — знаменатель.

Снова заиграла музыка, и, можешь себе представить, пекари стали снимать с палок кольца и с аппетитом их есть. Оказалось, это и впрямь самые настоящие бублики. И очень вкусные. С маком. Нас потом угостили.

Так вот, Цэ стали лопать свои бублики: числитель съест один, и знаменатель — один, числитель — один, и знаменатель — один… Когда Цэ-знаменатель съел все свои бублики, он исчез. На площадке осталась только его палка.

А Цэ-числитель — у него на палке еще болтался один бублик — продолжал стоять наверху как ни в чем не бывало.

— Ясно, — сказал Олег. — Деление — действие, обратное умножению. Значит, показатели степеней надо при этом не складывать, а вычитать.

— Верно! — поддержала Таня. — Из трех бубликов отняли два. В знаменателе очутилась палка-единица. А в числителе — Цэ с одним бубликом, то есть Цэ в первой степени.

— Первая степень не пишется, — вспомнил я. — Стало быть, просто Цэ:

с³ / с² = с^3-2 = с

— Вот вам и частное от деления двух степеней, — пояснил Дэ. — Посмотрим теперь, что будет, если Цэ в квадрате разделить на Цэ в кубе.

Теперь на верхней площадке стоял Цэ-числитель с двумя бубликами, а на нижней Цэ — знаменатель с тремя. Опять они принялись уплетать, но теперь уже без бубликов оказался Цэ-числитель. Он исчез, оставив на площадке свою палку. А Цэ — знаменатель, у которого оставался один бублик, продолжал стоять на площадке.

— Видите, — сказал Дэ, — частное от деления равно единице, деленной на Цэ, или одной цэтой, как у нас говорят.

— Позвольте, — вмешался Олег, — при делении степеней показатели вычитаются. Значит, это можно изобразить так

 с²/с³ = с^{2 — 3} = с^—1

— Ой! — испугалась Таня. — У тебя получилась отрицательная степень!

— Вполне законно, — возразил Дэ. — Одна цэтая — это то же самое, что Цэ в минус первой степени.

Вон оно что! Выходит, если целое число возвести в отрицательную степень, оно превращается в дробь:

с^—1 = (1/с)¹ = 1/с

с^—2 = (1/с)² = 1/с²

с^—3 = (1/с)³ = 1/с³

и так далее.

Слышишь, Нулик? Ты, помнится, хотел знать, отчего гирька твоего силомера не желала подниматься выше единицы? Вот тебе и ответ. Возвести пять в минус вторую степень — все равно что возвести одну пятую в плюс вторую степень:

5^—2 = (1/5)² = 1/25

Иначе и быть не может. Ведь у отрицательных чисел все наоборот! И чем большее число возводишь в отрицательную степень, тем меньше получается дробь. Потому-то тысяча, возведенная в минус третью степень, оказалась равной одной миллиардной:

(1000)^—3 = (1/1000)³ = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

А теперь слушай дальше. В числителе и знаменателе очутились Цэ с тремя бубликами.

Каждый Цэ съел свои бублики и скрылся. На площадках остались только их палки.

— Вот так фокус! — не удержался я.

— Ну, что вы! — скромно сказал Дэ. — Это просто деление двух одинаковых степеней с равными основаниями. И получается при этом единица, деленная на единицу.

— Или просто единица, — добавила Таня.

— Уж конечно! — ввернул я. — Подумаешь, открытие! Всякое число, деленное само на себя, равно единице. Двадцать, деленное на двадцать, равно единице; тридцать, деленное на тридцать, равно единице; Цэ в третьей степени, деленное на Цэ в третьей степени, равно единице. Об этом и говорить не стоит.

— Ты думаешь? — возразил Олег. — А по-моему, стоит.

— Отчего же?

— Оттого, что теперь я знаю, почему любое число в нулевой степени равно единице.

— Да ну?! Как это ты догадался?

— Очень просто:

c³: c³ = 1, но с³: с³ = c^{3 — 3} = с⁰.

Следовательно: с⁰ = 1.

Ну и голова у этого Олега! Жаль только, что он до этого не додумался раньше. Не пришлось бы мне срамиться там, у силомера. Впрочем, жалеть об этом не время. Письмо у меня и так получилось очень длинное. Но ты уж потерпи. Осталось немного.