Путешествие по Карликании и Аль-Джебре

— Великолепно! — воскликнул фокусник. — Вы попали в самую точку. Итак, размещаю на палке не числа, а буквы. Каждый член прогрессии обозначаю буквой а и снабжаю её порядковым числом, чтобы не было никакой путаницы. Такое число называется индексом и ставится чуть ниже и справа от буквы.

Фокусник подал знак, и буквы а в сопровождении индексов быстро расселись на палке:

а₁а₂а₃а₄а₅а₆а₇а₈

— Внимание! Приступаю к выводу формулы. В этом ряду под a₁ и а₂ можно подразумевать любые числа.

— Ну конечно, — сказал Сева, — так же как и под всеми остальными.

— Думайте, думайте, молодой человек! — возразил фокусник. — Ведь все эти а — члены одной арифметической прогрессии. Поэтому произвольно могут быть взяты только первые два а. Величины остальных зависят от разности между двумя первыми. Итак, обозначаю разность буквой d. Ведь разность прогрессии постоянна. Тогда

а₂ = а₁ + d,

а₃ = а₂ + d;

а₄ = а₃ + d.

И так до конца прогрессии. Понятно?

— Понятно, понятно! — закричали все.

— Продолжаю! Надеюсь, все заметили, что в этой прогрессии восемь членов. Или четыре пары. Сумму крайних членов записываю так:

а₁ + а₈.

Обозначаю сумму всех членов большой латинской буквой Эс — S. Ведь слово «сумма» начинается с этой буквы! Значит,

S = 4 (а₁ + а₈).

Кто-то спросил:

— А если в прогрессии десять членов? Как тогда вычислить сумму?

— Точно так же, — ответил фокусник. — Только пар станет уже не четыре, а пять, и последний член прогрессии будет a_l0:

S = 5 (а₁ + а₁₀).

— Стало быть, это справедливо для любого числа членов? — не унимался дотошный зритель.

— Какое число членов вам угодно сложить?

— Пять! Двадцать! Сто семьдесят пять! Двести сорок! Миллион семьсот тысяч! — неслось со всех сторон.

Фокусник закрыл уши руками:

— Тише, тише! Сейчас все ваши просьбы будут исполнены.

Он подождал, когда все успокоятся, и снова заговорил:

— Обозначаю число членов буквой Эн — п. Тогда последний член прогрессии будет а энное — а_п, а сумма крайних членов

а₁ + а_n

Не трудно догадаться, что число пар будет в два раза меньше числа n, то есть n/2 . Вот и выходит, что сумма членов запишется так:

S = (a₁ + a_n) ⁿ/₂

— Разрешите спросить, — сказал Олег, — если число членов прогрессии нечётное, как вы его разобьёте на пары?

— А уж над этим вы подумайте сами. Но поверьте честному слову фокусника — формула нисколько не изменится.

Он ещё раз сложил свою палку, и она тут же исчезла. Все захлопали, засмеялись. Фокусник тоже сложился пополам и исчез так же неожиданно, как его палка.

Вот какие фокусы показывают в Аль-Джебре.

Таня.

Последняя калитка (Нулик — отряду РВТ)

Здравствуйте, ребята! Письмо Тани нам ужасно понравилось. И все мои ученики сразу захотели стать фокусниками. Но я сказал, что фокусником буду я, а они — моими ассистентами. Их дело — сидеть на палке.

Сначала на палке никто сидеть не хотел. А когда я их уговорил, оказалось, что сидеть не на чем. Потому что мы нигде не могли найти палку, которая складывается.

Я очень расстроился, а все, наоборот, обрадовались и побежали кататься на калитке. Это у нас игра такая. В Арабелле давно уже нет никаких заборов. Случайно остался один по дороге в Римскую провинцию. Там ещё такая скрипучая калитка. Сядешь на неё и ездишь. Вперёд — назад, вперёд — назад!

Ну, я тоже поплёлся. Все стали кататься, а я стоял в сторонке и смотрел. А потом догадался: вот она, палка, которая складывается! То есть не палка, а забор с калиткой. Ведь калитка, если её открыть, доходит до самого забора! А забор сделан из редких поперечных планок. В калитке четыре поперечные планки. Отсчитать ещё четыре на заборе. Выбрать восемь ассистентов — на каждой планке по одному — и открыть калитку до самого конца. Моё предложение понравилось. На палке не хотел сидеть никто, зато на заборе захотели — все. Чтобы не было скандала, я отобрал восемь ассистентов по порядку: Единицу, Двойку, Тройку, Четвёрку, Пятёрку, Шестёрку, Семёрку и Восьмёрку.

Сказать по правде, я думал, что это никакая не прогрессия, а натуральный ряд чисел, но у меня другого выхода не было, иначе все бы передрались.

Числа стали на планки. Несколько других ассистентов ухватились за калитку. Я взмахнул рукой, калитка со страшным скрипом поехала к забору… И вот уже у нас получились четыре пары чисел:

4 и 5;

3 и 6;

2 и 7;

1 и 8.

Сложили каждую пару — получилось девять. Вот так штука! Выходит, я сделал открытие: натуральный ряд чисел тоже прогрессия. И разность её равна единице.

Я сложил все числа натурального ряда от единицы до двухсот. Прямо в уме! Вот где мне пригодилась формула фокусника.

Первый член прогрессии a₁ = 1, а последний а_п = 200. Значит, сумма прогрессии равна:

S = (1 + 200) (200/2) = 201 • 100 = 20 100.