Путеводитель для влюбленных в математику

Существование неконструктивных чисел опровергает связь между арифметикой и геометрией, гревшую сердца древним грекам, которые решали задачи на построение с линейкой без делений и циркулем.

Музыкальная гармония

Если музыканты перед концертом не настроили инструменты, возникает акустический диссонанс: музыка становится неблагозвучной.

Когда на двух инструментах берут одинаковые ноты, акустическая частота звуковых волн оказывается одинаковой. Рассогласованность же действует слушателю на нервы. Впрочем, можно брать и разные ноты, и музыка все равно будет ласкать слух, если эти ноты гармонируют друг с другом. Но как достичь гармонии? Что именно нам приятно слышать?

Этот вопрос волновал еще древних греков. Они выяснили, что, если акустические частоты соотносятся как малые целые числа (например, 2 и 3), сочетание нот ласкает слух. Так был открыт первый музыкальный строй (по легенде, его создал Пифагор[48]). Подбирая частоты для нот, важно выполнить главное требование: частоты нот, находящихся на противоположных концах октавы, должны соотноситься примерно как 2:1. Ради гармоничных звуков древние греки подбирали ноты так, чтобы парное соотношение частот до и фа, а также до и соль выражалось малыми целыми числами. В пифагорейском варианте соотношение между частотами соседних нот было равно 9/8 для целого тона (например, между до и ре) и 256/243 для полутона (например, между ми и фа).

Вот весь пифагоров строй[49]:

Из этого соотношения можно посчитать соотношение, скажем, между частотами нот до и фа. Мы получим частоту фа, если умножим частоту до на

Акустические частоты, соотносящиеся как 4:3, прекрасно звучат вместе.

Мы можем визуализировать звуковые волны, возникающие, когда до и фа звучат вместе. Это будет выглядеть примерно так:

А частота ноты ля окажется немножко выше, звуковая волна будет выглядеть так:

Разница, заметная для глаза, заметна также и для слуха; вы видите диссонанс.

Недостаток пифагорова строя в том, что широко распространенное мажорное трезвучие до мажор – до-ми-соль – звучит как диссонанс; соотношение частот достаточно сложное.

Спустя много веков были найдены другие варианты. Например, так называемый чистый строй, или натуральный строй[50], выглядит так:

В этом варианте частоты до, ми и си прекрасным образом соотносятся как 4:5:6. Но полный тон от до до ре звучит иначе, чем другой полный тон от ре до ми.

И у пифагорова строя, и у натурального строя есть еще один серьезный изъян: если ансамбль исполняет произведение в тональности, скажем, до мажор, а затем музыканты должны переключиться на тональность фа, инструменты придется перенастраивать. Это довольно затруднительно для лютниста, невероятно сложно для клавикордиста и совершенно нереально для тех, кто играет на деревянных духовых.

Исправить изъян можно, если создать музыкальный строй, действующий одинаково хорошо во всех тональностях. Это накладывает два условия:

1. Частоты нот на противоположных концах октавы должны соотноситься как 2:1;

2. Если ноты отделены полутоном, соотношение их частот должно быть таким же, как у остальных полутонов октавы (например, соотношение частот до и ми-диез равно соотношению частот до-диез и ре). Всего в октаве двенадцать полутонов: до, до-диез, ре, ми, ми-диез, фа, фа-диез, соль, соль-диез, ля, ля-диез и си.

Если соотношение частот любых двух соседних нот равно r (условие 2), а соотношение частот двенадцатой и первой ноты равно 2 (условие 1), то r¹² = 2. Следовательно,

Если настроить музыкальные инструменты таким образом, чтобы соотношение частот соседних нот в октаве было равно не придется перенастраиваться при переходе в другую тональность. Этот музыкальный строй называют равномерно темперированным[51], и сегодня им пользуются все профессиональные музыканты.

К сожалению, число иррационально[52]. Иными словами, соотношение частот двенадцати нот в равномерно темперированном строе (за исключением начала и конца октавы) не может быть выражено через соотношение целых чисел. Соотношение частот до и соль в таком случае равно не 3:2, а примерно 1,4983 (число принято округлять до 1,5).

Как это звучит? Сейчас почти все музыкальные инструменты настраивают по равномерно темперированному строю, и они ласкают наш слух. Но что мы теряем?

Вот как выглядит звуковая волна для трезвучия до мажор. В первом варианте частоты нот соотносятся как 4:5:6, во втором подобраны в соответствии с равномерно темперированным строем. Первый вариант выглядит (и звучит!) гораздо гармоничнее.

Преимущество равномерно темперированного строя состоит в том, что в нем нет необходимости постоянно перенастраивать музыкальные инструменты. Но есть один инструмент, способный менять тональность мгновенно: человеческий голос.