Путеводитель для влюбленных в математику

Для записи чисел в десятичной системе счисления используют десять символов, располагаемых в разных комбинациях в ряд по горизонтали. Значение символа зависит от его места в ряду. 29 и 92 означают разные числа, потому что 2 и 9 занимают разные позиции. 29 означает «два десятка и девять единиц». 5804 означает «пять тысяч, восемь сотен, ни одного десятка и четыре единицы». Позиция цифры в десятичном числе означает, на какую степень десяти[32] мы ее умножаем. Разряды растут справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч и т. д. Иными словами, запись 5804 означает:

× 10³ + × 10² + × 10¹ + × 10⁰.

Чем больше символов в десятичном числе, тем труднее его прочесть. Обычно каждый четвертый разряд отделяют пробелом или запятой[33].

Двоичная система устроена схожим образом, просто позиция в записи означает, на какую степень двух (а не десяти) мы должны умножить эту конкретную цифру.

В двоичной системе счисления используются всего два символа: 0 и 1. Разряды здесь тоже растут справа налево, обозначая количество единиц, двоек, четверок, восьмерок и т. д. Например, в двоичной записи 10110 означает:

× 2⁴ + × 2³ + × 2² + × 2¹ + × 2⁰ = 16 + 4 + 2 = 22.

Проверьте, насколько вы ориентируетесь в новой теме: чему равно число 42 в двоичной системе и чему равно число 11011₂ в десятичной[34]? Ответы – в конце главы.

Вычисления

Двоичные числа труднее для чтения, чем десятичные. Двоичная запись 1011001 кажется менее привычной, чем десятичная запись того же числа: 89. Преимущество двоичных чисел в том, что их использование облегчает вычисления. Вместо огромного количества математических данных нам необходимы всего две таблицы:

Заметьте, что в таблице умножения 10 означает число два.

Сложение двоичных чисел устроено так же, как в десятичной системе. Например, нам нужно найти сумму 10100₂ и 1110₂. Расположим эти числа друг над другом:

Дальше нужно двигаться справа налево, складывая цифры в каждом столбце и при необходимости перемещая единицу на столбец влево. В нашем случае мы сложим два нуля и получим ноль:

Дальше идет столбец двоек. Мы складываем 1 и 0 (переносить ничего не требуется):

Дальше – столбец четверок. Мы складываем 1 и 1, получаем 10, пишем 0, держим 1 в уме и переносим на столбец влево:

Следующий столбец – восьмерки. Складываем 1 и 0 и 1, получаем 10, пишем 0 и держим 1 в уме:

Заканчиваем на столбце, означающем, сколько раз в числе встречается 16. Сложение дает 10, мы пишем 0 в текущем столбце и 1 в столбце с разрядом 32:

Мы обнаружили, что 10100 + 1110 = 100010.

Переведем это на язык десятичных чисел:

10100₂ = 20, 1110₂ = 14, 100010₂ = 34.

Разумеется, 20 + 14 = 34.

Умножение в двоичной системе проще, чем в десятичной. Достаточно усвоить два принципа: сложение двоичных чисел (мы в нем только что разобрались) и умножение на степени двойки.

Умножение числа на 10 в десятичной системе не представляет сложности: мы просто добавляем цифру 0 справа: 23 × 10 = 230. Точно так же выглядит умножение на 2 в двоичной системе: 1101 × 10 = 11010. В случае десятичных чисел это очевидно, в случае двоичных 1101 означает:

× 8 + × 4 + × 2 + × 1.

Умножение на 2:

× 16 + × 8 + × 4 + × 2 + × 1.

Лишний ноль на конце дает 11010.

Умножение на 4, 8 и другие степени двойки тоже просто: например, умножение на 8₁₀ (1000₂) равнозначно приращению трех нулей с правой стороны числа.

Итак, умножение превращается в игру «перемести-и-добавь-цифры». Проиллюстрируем это на примере умножения 11010 на 1011. Для начала запишем второе число так:

1011 = 1000 + 10 + 1.

Умножение на 11010 можно представить так:

11010 × 1011 = 11010 × (1000 + 10 + 1) = 11010 × 1000 + 11010 × 10 + 11010 × 1 = 11010 + 11010 + 11010.

Удобнее умножать в столбик:

А вот и ответ:

Давайте переведем числа в десятичные, чтобы удостовериться, что все правильно:

11010₂ = 16 + 8 + 2 = 26;

1011₂ = 8 + 2 + 1 = 11;

100011110₂ = 256 + 16 + 8 + 4 + 2 = 286.

Мы не ошиблись: 26 × 11 = 286.

Дроби

В десятичной системе мы можем записывать не только целые числа. Если поставить в конце запятую[35], мы получим новые места для цифр: по мере движения вправо степени десяти будут все меньше. Например, 34,27 – это компактный способ записи такого выражения:

Двоичная система тоже позволяет записывать дробные значения. Каждую следующую цифру после запятой[36] мы умножаем на предыдущую степень двойки. Например, 101,011₂ означает:

Непривычный способ записать одну вторую: 0,1₂!

Есть и другие системы счисления, помимо десятичной, единичной и двоичной[37]. В третичной системе мы пользуемся цифрами 0, 1 и 2, здесь все строится на степенях тройки. Скажем, 1102₃ означает:

1 × 27 + 1 × 9 + 0 × 3 + 2 × 1 = 38.