Путеводитель по лжи

Но так же, как и в примере с комнатой, полной людей с совершенно разными доходами, изменение средней продолжительности жизни за последние 175 лет отражает большие изменения в структуре населения. В то время уровень детской смертности был гораздо выше, что и снижало среднюю продолжительность жизни. Вот вам парадокс: средний ребенок никогда не рождается в средней семье[26]. Почему? Из-за того, что рассматриваются разные группы. (Я здесь использую понятие «среднее» вместо «среднее арифметическое» из уважения к прекрасной работе, написанной по этой теме Джеймсом Дженкинсом и Терреллом Тьютеном, которые использовали это понятие в заголовке.)

Теперь давайте представим, что вы прочли, будто среднее число детей в семье, живущей где-то в пригороде, равно трем. Скорее всего, вы сделаете вывод, что в среднем у ребенка должно быть двое братьев и сестер. Но это заключение будет неверным. Та же логическая ошибка возникает в случае, если мы спросим, посещает ли средний студент колледжа колледж среднего размера, получает ли средний сотрудник среднюю зарплату или растет ли среднее дерево в среднем лесу. В чем же дело?

Во всех этих случаях меняется точка отсчета – та группа, которую мы изучаем. Когда подсчитывают среднее количество детей в семье, выборка состоит из семей. Независимо от того, большие это семьи или маленькие, все равно это будут семьи. А когда подсчитывают среднее количество братьев и сестер у одного ребенка, выборка состоит из детей. Учитывается каждый ребенок в большой семье; таким образом, количество детей в каждой семье сильно влияет на средний показатель количества братьев и сестер. Иными словами, семья с десятью детьми считается один раз в средней семейной статистике, но десять раз в статистике, отражающей количество братьев и сестер у одного ребенка. Предположим, что в одном районе этой гипотетической общины живут 30 семей. У четырех из них нет детей, в шести – по одному ребенку, в девяти – по два, и в 11 семьях воспитывается по шестеро детей. В среднем в каждой семье по три ребенка, потому что нужно разделить 90 (общее количество детей) на 30 (общее количество семей).

Но давайте посмотрим на среднее число братьев и сестер у одного ребенка. Мы часто допускаем ошибку, думая, что если в среднем в семье по три ребенка, то у каждого из них должно быть двое братьев или сестер. Но в семьях с одним ребенком на каждого из шести детей приходится ноль братьев и сестер. В семьях с двумя детьми на каждого из 18 детей приходится по одному брату или сестре. В семьях с шестью детьми на каждого из 66 детей приходится пять братьев и сестер. У 90 детей, выходит, 348 братьев или сестер. Следовательно, хотя средний ребенок воспитывается в семье с тремя детьми, на 90 детей приходится 348 братьев и сестер, или в среднем приблизительно четыре брата или сестры на ребенка.

Среднее количество детей на семью: 3,0

Среднее количество братьев и сестер на ребенка: 3,9[27]

Четыре семьи, в которых нет детей

Шесть семей с одним ребенком – шесть детей, у которых ноль братьев и сестер

Девять семей, в которых два ребенка, – 18 детей, у которых один брат или сестра

11 семей с шестью детьми – 66 детей, у которых пять братьев и сестер

А теперь давайте рассмотрим пример с колледжами. В Соединенных Штатах множество крупных колледжей (например, колледж в штате Огайо или в штате Аризона), где учится более 50 тысяч студентов. Есть также и не такие большие колледжи, где учится менее 3 тысяч студентов (например, Кеньон-колледж или Уильямс-колледж). Если мы включим в наши подсчеты еще и школы, то получим, что в колледже среднего размера учится 10 тысяч студентов. Но если подсчитать количество студентов, то получится, что средний студент ходит в колледж, где учится более 30 тысяч студентов. Это происходит потому, что при подсчете студентов мы получим гораздо больше данных из крупных школ. Схожим образом можно сделать вывод, что средний человек не живет в среднем городе, а средний гольфист не делает среднее число ударов для прохождения площадки с 18 лунками.

Во всех этих примерах меняется изучаемая группа, а потому меняется знаменатель при вычислении среднего арифметического. Рассмотрим еще один пример асимметричного распределения вроде того, с которым мы встретились, обсуждая детскую смертность: средний инвестор не получает средний доход[28].

В одном исследовании средний доход от инвестиции 100 долларов на срок 30 лет составил 760 долларов, или 7 % в год. Но 9 % инвесторов потеряли деньги, а огромному числу инвесторов, 69 %, не удалось достигнуть показателя среднего дохода. Так случилось потому, что среднее арифметическое было смещено из-за нескольких человек, заработавших больше среднего. На графике, предложенном ниже, среднее арифметическое смещено вправо благодаря тем счастливчикам, которым удалось заработать состояние.