Путеводитель по методологии Организации, Руководства и Управления

Но вот мы получили изображение, и теперь мы к нему подходим с двумя требованиями. Первое — требование конструктивности этого изображения, а второе — требование оперативности.

Изображения нам нужны для того, чтобы мы могли с ними работать. Изображение не должно точно соответствовать объекту. Модель объекта не соответствует объекту по простой причине: если бы изображение было полностью тождественно объекту, оно нам было бы ни к чему. В этом весь смысл модели: модель по определению отличается от объекта. И изображение точно так же. В этом — самое главное. Получив изображение объекта, я должен с ним работать. И оно должно быть прилажено к работе, должно ей соответствовать. Отсюда требования конструктивности и оперативности.

Давайте посмотрим, как это было в истории развития числа. Практически у всех народов десятка первоначально изображалась в виде десяти палочек. Вот модель в чистом виде: есть один баран — кладем одну палочку, два барана — две палочки, и так доходим до десяти, потом до ста и т.д. Но представьте себе на минутку, как работать с такой сотней. Как умножать или еще что-то с ней делать? Структуры этих изображений, пока они соответствовали объекту, ограничивали наши оперативные и конструктивные возможности. И поэтому скоро, дойдя до десяти, стали изображать ее одним значком. От знака-модели перешли к знаку-символу.

Больше того, смотрите, какая интересная вещь происходит сейчас с числами в школе. Вот я учусь считать. У меня один предмет — я говорю «один», второй — я говорю «два», третий — я говорю «три» и т.д. Вот дети научились считать, надо начинать складывать. Говорят: «четыре плюс…» — и тут ребенок замирает, и в отличие от работающих по привычке взрослых он говорит, что это неправильно. Один — это был вот этот, два —вот этот, четыре — вот этот; каждый знак обозначал свой объект. А когда мы говорим: «четыре плюс пять», — сколько это будет?

— Два.

Конечно. Он работает в объектном содержании, поскольку четко и ясно усвоил тот смысл, который приписан знакам. А вы, оказывается, уже перескочили и говорите, что «четыре» — это не четвертый объект, а вся совокупность вместе, которая до того была подсчитана. Для вас понятно, что мы употребляем числа в двух смыслах: философы-математики после полутора тысячелетий работы «доперли», что есть количественные и порядковые значения числа. Но важно здесь то, что мы подменяем одно другим. И когда начинаем складывать, то «четыре» выступает как знак совокупности, а совсем не как знак четвертого объекта. Мы от моделирующего значения перешли к символизирующему значению. Мы начали складывать совокупности.

Оперативные системы

Здесь мы подходим к понятию математической оперативной системы. Что такое наша система числа? Это, по крайней мере, три операторные структуры, увязанные на одном материале. Первая — пересчет. Здесь каждое число получает особый смысл. Пока люди считали, но не складывали, они были замкнуты на объектах, и с этой точки зрения числовая форма в виде десяти или тридцати палочек была самой лучшей. А вот когда начали складывать и вычитать, оказалось, что такая форма числа для этих процедур не годится. Больше того, выяснилось, что некоторых чисел не хватает. Например: пять минус пять — сколько будет? Ноль. А какой объект соответствует знаку «ноль» — который уничтожили или которого никогда не было? Путем пересчета в этой операторной системе ноль получиться вообще не мог. Он вводится для того, чтобы такая процедура оставалась в пределах оперативной системы знаков, т.е. чтобы никакая процедура со знаками не выбрасывала нас за пределы знаковой системы.

Хорошо, а если я из пяти вычитаю семь? Появляется необходимость в отрицательных числах. Потом появляется умножение, извлечение корней и т.п. Появляются мнимые числа, комплексные числа и т.д. Откуда брались такие знаковые формы? Из требований оперативной системы.

Проблема соответствия «знак — объект»