Расколотый мир

Подведем теперь итоги рассмотрения линейного пространства как модели психологического теста, а следовательно, и модели тестируемого свойства. Пусть у вас имеется набор тестовых пунктов, направленных на выявление у испытуемого некоторого психологического свойства. Моделью интересующего нас свойства в данной группе испытуемых будет множество ответов испытуемых, которое, как мы видели, можно рассматривать как линейное пространство. Далее, если тестовые пункты подобраны таким образом, что испытуемые дают на них существенно различные ответы, то размерность линейного пространства, моделирующего интересующее нас свойство (линейное пространство данного свойства), в точности равна числу тестовых пунктов и не зависит от числа испытуемых. Из этого следует, что строение линейного пространства свойства не зависит от размеров выборки испытуемых. Этот факт лежит в основе интерпретации свойства, полученного посредством статического (а не психодинамического) тестирования группы испытуемых, как модели психологического свойства, присущего данному конкретному испытуемому.

1.5. Метрические пространства

Попробуем теперь с несколько иной точки зрения подойти к изучению пространственных моделей психологических явлений, а именно с точки зрения функциональных отношений между элементами пространства. Говорят, что множество Х наделено структурой метрического пространства или что Х есть метрическое пространство, если определена функция, ставящая в соответствие каждой паре декартова квадрата множества Х число из поля действительных чисел d: X × X → R, удовлетворяющая условиям:

где x₁, x₂, x₃ – произвольные элементы множества X.

Функцию d называют метрикой или расстоянием в X.

Само метрическое пространство есть, таким образом, пара (X,d). Очевидно, что структура метрического пространства полностью определена тем, как задана в нем функция расстояния или метрика. Заметим, что из неравенства треугольника, если положить х₁ = х₃, следует, что d(х₁, х₂) ≥ 0. Таким образом, функция расстояния принимает только неотрицательные значения. Приведем некоторые примеры.

Множество действительных чисел является метрическим пространством, если определить расстояние между двумя числами равным абсолютной величине их разности: d(х₁х₂) = (х₁ – х₂). На множестве Rⁿ обычно вводят одну из следующих метрик:

где р ≥ 1. Подставляя различные значения р в (25) мы можем получать различные метрики в пространстве Rⁿ, в том числе и метрику плоскостных изображений, в случае если

Метрика (26) называется евклидовой метрикой. Метрическое пространство R³ с евклидовой метрикой является моделью непосредственно окружающей человека физической среды.

Метрические пространства как модели социально-психологических явлений являются весьма мощным аппаратом представления в компактном и наиболее удобном для дальнейшего исследования виде больших массивов экспериментальных данных, а также позволяют учитывать сложные взаимовлияния большого числа элементов изучаемых систем. Важнейшими характеристиками таких моделей являются размерность пространства, его метрика и наличие или отсутствие структуры. Типичными примерами таких моделей в психологии являются пространства образов, пространства мнений или суждений, при этом подразделяют пространства коннотативных и денотативных суждений, факторные пространства личности. Эти последние обычно удовлетворяют требованиям линейности. В последнее время также активно исследуются пространства образов (методы с использованием «Семантического дифференциала» и другие) с привлечением методов многомерного статистического анализа. Отметим, что в социально-психологических исследованиях расстояния между образами устанавливаются в процессе обработки данных экспериментального шкалирования объектов по каждому из признаков. При этом взаимодействие признаков рассматривается как артефакт. В предлагаемом же в этой книге подходе именно это взаимодействие (собственно психодинамика) и является основным предметом исследования.

1.6. Топологические пространства