Рассказы о математиках

К III веку до новой эры в Греции накопился богатый геометрический материал, который необходимо было привести в строгую логическую систему. Эту колоссальную работу и выполнил Евклид. Он написал 13 книг «Начал» (геометрии), которые не утратили своего значения и в настоящее время. Евклид не только систематизировал тот геометрический материал, который был известен до него, но и дополнил его своими собственными исследованиями.

Евклид

Значение «Начал» Евклида в истории математической науки трудно переоценить. «Начала» Евклида составили целую эпоху в развитии элементарной геометрии. В течение долгих веков «Начала» были чуть ли не единственной учебной книгой, по которой молодежь изучала геометрию, и не потому, что других книг по геометрии не было. Эти книги были. Но они вытеснялись «Началами» Евклида и скоро забывались.

Насколько популярны «Начала» Евклида, можно судить по тому факту, что в английских школах и теперь геометрия изучается по некоторым из этих книг. Более того, в настоящее время школьные учебники на всех языках мира или дословно копируют «Начала» Евклида, или написаны под их большим влиянием. Кстати сказать, «Геометрия» А. П. Киселева, которая у нас долгое время являлась стабильным учебником в школе, написана по книгам, которые в свою очередь созданы по «Началам» Евклида с большим заимствованием оттуда формы и содержания, причем доказательства некоторых теорем, например теоремы Пифагора, взяты из Евклида дословно.

Как указывалось выше, «Начала» Евклида состоят из 13 книг. Содержание этих книг следующее: первая книга приводит условия равенства треугольников, соотношения между сторонами и углами треугольников, теорию параллельных линий и условия равновеликости треугольников и многоугольников; во второй книге даются методы превращения многоугольника в равновеликий квадрат; третья содержит учение об окружности; в четвертой рассматриваются вписанные и описанные многоугольники; шестая содержит учение о подобных фигурах; в последних трех книгах, т. е. в одиннадцатой, двенадцатой и тринадцатой, излагаются основы стереометрии. Остальные книги, не упомянутые выше, т. е. пятая, седьмая, восьмая, девятая и десятая, посвящены теории пропорций и арифметике, причем изложение чисто геометрическое.

В «Началах» Евклида дан образец дедуктивного изложения геометрического материала на основе предпосланной системы аксиом и других достоверных истин.

Архимед (Ок. 287–212 гг. до н. э.)

О жизни Архимеда известны только отрывочные сведения, которые дошли до нас благодаря древним писателям Цицерону, Плутарху и др. Из их работ узнаем, что Архимед родился в 287 году до новой эры в Сицилии и на 75-м году жизни был убит римским воином при взятии римлянами Сиракуз.

В своих математических работах Архимед, предвосхитив идеи современного математического анализа, остроумно решал задачи на вычисление длин кривых, площадей и объемов. В частности, пользуясь своими оригинальными методами, он нашел площадь сегмента параболы.

Архимеду принадлежит ряд замечательных изобретений. Он изобрел машину для орошения полей (архимедов винт). Впервые для поднятия тяжестей стал применять систему рычагов и блоков. Дал способ определения состава сплавов путем взвешивания в воде и т. д.

До нас дошли следующие сочинения Архимеда: две книги «О шаре и цилиндре», «Об измерении круга», «О коноидах и сфероидах», «О спиралях», две книги «О равновесии плоскости», «О числе песчинок», «О квадратуре параболы», «Послание Эратосфену о некоторых теоремах механики», две книги «О плавающих телах», «Отрывки».

Архимед

В своем небольшом сочинении «О числе песчинок» Архимед решает вопрос о представлении какого угодно большого числа, не употребляя при этом ни нуля, ни показателя степени. За основание своего исчисления он берет число 10.

«Некоторые люди, о царь Гелон, — пишет Архимед в указанном сочинении, — воображают, что число песчинок бесконечно велико.

Я говорю не о песке, находящемся в Сиракузах или во всей Сицилии, но о песке всей суши: как обитаемой, так и необитаемой. Другие признают это число, правда, не неограниченным, но все же думают, что оно больше всякого задуманного числа. Если бы эти люди представили себе кучу песка, величиной в земной шар, причем этим песком были бы покрыты все моря и все углубления до вершины величайших гор, то, конечно, люди тем более были бы склонны принять, что нет числа, превосходящего число песчинок в этой куче.

Я, однако, приведу доказательства, с которыми и ты согласишься, что я в состоянии назвать некоторые числа, не только превосходящие число песчинок в куче, равной земному шару, но даже число песчинок в куче, — равной всей Вселенной».

(Под Вселенной здесь подразумевается шар, центр которого находится в центре Земли, а радиус образуется расстоянием между центрами Земли и Солнца.)

И Архимед действительно находит эти большие числа в своей системе счисления и называет их.