Расцвет и падение древних цивилизаций. Далекое прошлое человечества

В этой связи они устраняли все трудности, которые испытывает начинающий учиться счету и сегодня, пусть читатель вспомнит свои затруднения в школе, собственные опыты с делением.

Как в свое время шумеры вывели таблицу умножения, так теперь их вавилонские преемники составили таблицы обратных величин (обратных дробей), выраженных как шестидесятеричное деление.

Конечно, вавилонскую систему нельзя признать совершенной. Им недоставало цифр, а вплоть до 1-го тысячелетия до н. э. и нуля. Они не обнаружили ничего, соответствующего нашей периодической дроби. Их основа, 60, делилась на огромное количество множителей, 2, 3, 4, 5, 6…, так что большинство дробей оказывалось возможным выразить как достаточно короткие шестидесятеричные доли. Все же в соответствующих таблицах значение ¹/₇, ¹/₁₁ и так далее — пустое. С помощью такого деления они становились регрессом обычного деления и использовали приблизительные значения как показатели.

Точно так же они не знали, как представить или иметь дело с иррациональными числами, такими как . В связи с проблемами, которые приводят к такому количественному анализу, они заменяли точные методы действия с помощью других привлеченных процессов, дающих приблизительно верный результат. «Правило знаков», похоже, находится вне их осмысления. «Отрицательный корень» квадратного уравнения просто игнорируется.

Более того, вавилоняне обнаружили опытным путем фактическую систему вычисления некоторого числа цифр, которые мы должны выразить алгебраической формулой. Так, им явно был знаком результат, который мы выражаем как (а + b)² = а² + 2ab + b², и использовали этот результат, чтобы решать квадратные уравнения, «заполняя квадрат», во многом поступая точно так же, как и мы.

Подобные пропорции чисел, правила арифметической грамматики, как называл их Хогбен, казались писцам не открытием первичных «законов», но результатами и процессами, которые действительно должны были работать. Они никогда не выражали в полной мере «математические таблички» общими формулами. Все, что сохранилось, представляет собой «примеры», разработанные и фактически устроенные так, что они действовали с помощью доступных методик, так, например, значения для уравнения выбраны так, что ас + b²/4 является совершенной площадью.

Все же вавилоняне испытывали недостаток в том, что мы называем алгебраическим обозначением, используя буквы с неопределенными числовыми значениями вместо конкретных цифр. Решая «уравнения», они, следовательно, обращались к процедуре, схожей с той, что и «ложное положение», использовавшееся в средневековой арифметике.

Фрагментарные таблички доказывают, что школы экспериментировали с геометрическими фигурами, вписывая квадраты в круги и т. п. Трудно сказать, к каким заключениям подводят нас таблички. Однако к 1800 году до н. э. вавилоняне обнаружили, опять-таки предположительно с помощью фактических наблюдений и измерений, некоторые геометрические отношения в добавление к тем правилам для площадей и объемов, применение которых началось гораздо раньше.

Особенно хорошо они были осведомлены, что стороны прямоугольника соотносятся между собой в пропорциях 3 к 4 и 5 к 12, площадь диагонали равна сумме квадратов двух соседних сторон. Целый ряд примеров на табличке, хранящейся в Британском музее, выстраивается для подтверждения этой истины. Фактически образованные писцы знали, что в девятнадцати независимых случаях получался результат того, что сегодня называют «теоремой Пифагора».

Даже если они «знали» в целом эту теорему, они не могли применять ее в случаях, где диагональ не является рациональным целым числом, как происходит, например, в квадрате. В подобных случаях примеры на табличках выполняются по методикам, которые мы должны использовать, чтобы приблизительно получить правильный ответ.

Вавилонские писцы разработали систему математических символов и методик, побуждавших их решать с нужной точностью реальные проблемы в бухгалтерском учете, межевании, архитектуре и военной инженерии, с которыми приходилось встречаться в практической жизни общества.

Они выводили ряд примеров, чтобы проиллюстрировать решение точно таких же проблем. Проделывая это, вавилоняне приходили в замешательство перед некоторыми важными свойствами чисел и пространства. Ни одна из сохранившихся табличек не отражает заинтересованности в числах, таких или каких-либо иных концепций абстрактного пустого пространства! (Некоторые реальные примеры вавилонских математических текстов показаны в моей книге «Человек создает себя».)

В 3-м тысячелетии до н. э. египтяне, шумеры и индийцы Мохенджодаро и Хараппы достаточно хорошо представляли химию обжига, чтобы изготавливать фаянс, непрозрачную посуду, покрытую глазурью. Химическое открытие позволило сделать вывод, что щелочные силикаты плавятся так же легко, как и металлы, что подобные силикаты можно получить, нагревая глинистые массы с кварцем (то есть песком), поташом (представлявшим собой всего лишь продукт сгоревшего дерева) или углекислым натрием (встречавшимся в виде минерала в западной пустыне Египта).