Развитие учетно-аналитической концепции контроллинга. Теория и методология

Теорема Такенса предполагает, что закон развития ряда не меняется во времени. Как правило, наблюдаемые временные ряды (в частности, финансовые, инвестиции) для предсказания тенденций в экономических системах отличаются сильной нестационарностью. Таким образом, данное предположение в подавляющем большинстве случаев является неоправданным. На практике предсказательная сила метода оказывается весьма низкой.

Ввиду того что наблюдаемая информация об исходной системе недостаточна, следует учитывать как динамические, так и статистические характеристики временного ряда. Таким образом, при построении модельной системы можно совместно использовать динамические и вероятностные компоненты, то есть задействовать метод русел и джокеров.

Использование идеи русел позволяет делать прогнозы для систем большой размерности, которые оказываются вне пределов применимости малодомовой нелинейной динамики (термин «малодомовой» показывает, что алгоритмы теряют эффективность для систем с размерностью аттрактора d > 5, т. е. с числом наиболее существенных переменных 5 × 10). К примеру, в некоторой области G (рис. 18) различные траектории могут оказаться близкими в проекции. Тогда в этой проекции динамика становится частично предсказуемой, и такая «модель» в проекции будет иметь принципиально ограниченную точность. В данной ситуации усредненная модель представляет собой «проекцию» на пространство медленно меняющихся мод, но в отличие от них, здесь модель справедлива только при попадании траектории в область G. Как только траектория исходной системы покинет эту область, предсказуемость в проекции будет утрачена [113]. При нахождении в области русла система ведет себя предсказуемо и дает возможность получать достаточно точный прогноз ее динамики на некоторый период.

Рис. 18. Схема возникновения русла [113, с. 303]

Наиболее адекватной моделью для русла следует признать динамическую систему с наложенным шумом. Вероятно, этот «шум» должен обладать некоторыми динамическими чертами, чтобы воспроизводить свойства проекции траектории в пространстве большой размерности [113]. В случае прохода траектории системы по руслу достаточное число раз по временному ряду с определенной степенью достоверности можно определить проекцию системы и предсказать ее поведение.

Когда русло кончается, начинает быстро расти число переменных, определяющих ход процесса, при этом уменьшается горизонт прогноза и появляется возможность резких изменений. Области устойчивого движения в фазовом пространстве могут сменяться областями неустойчивого, плохо предсказуемого, зашумленного или даже случайного движения.

В соответствии с концепцией русел и джокера в фазовом пространстве многих реальных объектов имеются области джокеров, в которых случайность или фактор не только оказывают решающее влияние на дальнейшую судьбу системы, но и могут скачком перевести ее в другую точку фазового пространства. Функция джокера в данном случае состоит в мгновенном перемещении системы из одного русла в другое.

На рисунке 19 приведены два русла (G₁ и G₂) и 3 джокера (J₁, J₂, J₃). Черные стрелки показывают детерминированное описание динамики (траектории модели для проекции), «пустые» стрелки показывают действия джокеров: когда траектория попадает в область джокера (заштрихованную), она может с некоторой вероятностью направиться в какую-то случайную точку русла или к другому джокеру [113]. Соответственно, в области джокера достоверный прогноз сделать практически невозможно.

Появление джокеров в фазовом пространстве динамической системы определяется следующими признаками:

– локальная неустойчивость системы с хаотическим поведением, чередуясь с устойчивым движением, формирует странные аттракторы;

– сильная перемежаемость (когда происходит смена режимов поведения с относительно высокой скоростью);

– влияние внешних шумов в локальных областях;

– высокомодовое движение системы;

– наличие разрывов в отображении;

– быстрые системные изменения, происходящие в объекте, в том числе и критические [230].

Рис. 19. Схема представления сложной динамики как комбинации русел и джокеров [113, с. 305]

Однако все эти признаки, кроме разрывов в отображении, можно обнаружить только в случае, если возможно использование метода активного пространств возрастающей размерности по данным временного ряда.

Исходя из специфики рассматриваемой задачи, предусматривается использование следующих видов джокеров:

– дискретный точечный джокер, который мгновенно приводит систему в определённую точку фазового пространства. Как правило, это связывается с ситуацией, когда хаос в системе обязательно повлечет за собой ее разрушение;

– двухточечный джокер, который при срабатывании с вероятностью p₁ и вероятностью р₂ переводит систему в ту или иную точку фазового пространства;