Разыскания истины

Из этих трех родов истин, истины, существующие между идеями, вечны и неизменны, и по причине своей неизменности они служат также правилами и мерилами для всех остальных; ибо всякое правило или мерило должно быть неизменным. В арифметике, алгебре и геометрии рассматриваются лишь этого рода истины, ибо эти общие науки управляют всеми частными науками и содержат их в себе. Все отношения, или истины, существующие между сотворенными вещами или между идеями и сотворенными вещами, подвержены изменению, которое свойственно всякому творению. Одни лишь истины, существующие между нашими идеями и внешним существом, неизменны, подобно истинам между одними идеями, потому что Богу не свойственно изменение, как и идеям, которые он содержит.

Истины, существующие между идеями, мы можем открыть усилиями одного лишь разума; чтобы открыть другие истины, мы почти всегда пользуемся своими чувствами. Мы пользуемся своими глазами и руками, чтобы убедиться в существовании вещей и чтобы узнать отношение равенства или неравенства между ними. Одни лишь отношения между идеями разум может познавать безошибочно сам собою и не пользуясь чувствами. Но существуют не только отношения между идеями, есть отношения между отношениями, существующими между идеями, между отношениями отношений идей и, наконец, между совокупностями нескольких отношений, между отношениями подобных совокупностей отношений — и так далее до бесконечности, т. е. существуют до бесконечности сложные истины. В геометрии простая истина, т. е. отношение одной идеи, взятой в целом, к другой, как например отношение 4 к 2 или дважды двум, называется геометрической пропорцией или просто пропорцией; ибо разность между одною идеею и другою или, говоря обыкновенным языком, разность между одною величиною и другою не будет собственно пропорцией; и равные разности величин не будут равными пропорциями. Когда идеи или величины равны, это будет пропорция равенства; когда они не равны — пропорция неравенства.

488

Отношение, существующее между отношениями величин, т. е. между пропорциями, называется сложною пропорцией, потому что это сложное отношение; отношение, представляющее собою отношение 6 к 4 и 3 к 2, есть сложная пропорция. Когда входящие пропорции равны, эта сложная пропорция называется пропорциональностью, или двойною пропорцией. Отношение, существующее между отношением 8 к 4 и отношением 6 к 3, будет пропорциональностью, потому что эти оба отношения равны.

Должно заметить, что все отношения или все пропорции, как простые, так и сложные, суть действительные величины, а самый термин «величина» — термин относительный, необходимо указывающий на некоторое отношение, ибо нет ничего большого самого по себе вне отношения к другому, кроме бесконечного или единицы. Даже целые числа будут такими же несомненными отношениями, как числа дробные, т. е. числа, сравниваемые с другим числом или разделенные на другое число, хотя это может и не прийти в голову, так как целые числа могут быть выражены одной цифрой. Например, 4 или 8/2 будет таким же несомненным отношением, как 1/4 или 2/8. Единица, к которой 4 имеет отношение, не выражена, но она подразумевается; ибо 4 есть отношение, как и 4/1 или 8/2, потому что 4 равно 4/1 или 8/2. Если же всякая величина есть отношение или всякое отношение — величина, то очевидно, все отношения могут быть выражены цифрами и их можно представить воображению посредством линий.

Итак, все истины не что иное, как отношения, а следовательно, чтобы знать с точностью все истины, как простые, так и сложные, достаточно знать с точностью все отношения, как простые, так и сложные. Как было выше сказано, существуют двоякие отношения:

отношения равенства и отношения неравенства. Очевидно, что все отношения равенства подобны; если нам известно, что одна вещь равна другой нам известной вещи, мы знаем с точностью и отношение ее. Не то с неравенством: известно, например, что башня больше сажени и меньше тысячи саженей, но мы не знаем наверное ее величины и отношения ее к сажени.

Чтобы сравнивать вещи между собою или, вернее, чтобы измерять с точностью отношения неравенства, нужна точная мера, нужна простая и вполне понятная идея, универсальная мера, которая приложима ко всяким предметам. Эта мера — единица; ею измеряются точно все вещи и без нее невозможно ничего знать с некоторою точностью. Но все числа состоят из единиц, и очевидно, что без идей чисел и без сравнения и измерения этих идей, т. е. без арифметики, невозможно подвинуться в познании сложных

истин.

Так как идеи или отношения между идеями, словом, величины, бывают больше или меньше в сравнении с другими величинами, то их можно уравнять, прибавляя к ним или отнимая от них единицу. Итак, через прибавление или отнимание единицы или частей еди-

489