Революция в физике (Новая физика и кванты)

Однако спин имеет направление и знак. Предполагалось также, что величина спина равна половине квантовой единицы момента количества движения, или h/4π. Поэтому Паули предположил, что для каждого направления D (которое не перпендикулярно направлению распространения, поскольку ψ-волны не поперечны) спин может иметь два значения ±h/4π в зависимости от знака, который он имеет в данном направлении. Должна быть определенная вероятность обнаружить на опыте, что спин рассматриваемого электрона направлен вдоль D и имеет величину +h/4π; определенная вероятность, что эксперимент даст значение спина –h/4π в направлении D.

Паули по аналогии с поляризацией света предположил, что для каждого заданного направления D волну можно разложить на две компоненты, интенсивности которых являются мерой вероятностей двух возможных величин ±h/4π спина в направлении D. Конечно, если направление D меняется, разложение ψ-волны на две компоненты производится иным способом, точно так же, как для света разложение на две взаимно перпендикулярные компоненты производится различно в зависимости от того, какова система взаимно перпендикулярных осей. Паули выписал систему двух дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять две компоненты ψ-волны для данного направления D. Он изучил также способ преобразования этой компоненты, когда направление D меняется. При этом он заметил, что компоненты ψ-волны преобразуются не как компоненты вектора. Перед нами первый пример применения в физике особого математического понятия. Действительно, ψ-волна частицы со спином не попадает в общий класс тензоров, частным случаем которых, как известно, являются скаляры и векторы. Это математическое понятие совершенно нового типа впоследствии было хорошо изучено и получило название полувектора, или спинора.

Мы не можем здесь подробно описывать формализм теории Паули, к тому же он не получил широкого применения, ибо вскоре был заменен теорией Дирака. Кроме того, теория Паули нерелятивистская. Поэтому ее нельзя применить для предсказания тонкой структуры в смысле, указанном ранее Зоммерфельдом. Однако соображения Паули представляют огромнейший интерес. Они показывают, как можно ввести спин в волновую механику, рассмотрев вероятности двух возможных знаков спина для данного направления и введя вместо однокомпонентной ψ-функции ψ-функцию с несколькими компонентами. И Дираку в его блестящей работе удалось довести до конца эту первую черновую попытку.

4. Теория Дирака

Конечно, Дирак руководствовался идеями Паули, но у него был, кроме того, еще один руководящий принцип: создать вполне удовлетворительную релятивистскую волновую механику. Действительно, как мы видели, с самого начала развития волновой механики предполагалось, что релятивистская волновая механика должна базироваться на волновом уравнении второго порядка по времени. Дирак подверг это предположение тщательному изучению и пришел к заключению, что оно должно быть отвергнуто.

Главное возражение Дирака состояло именно в том, что уравнение распространения в релятивистской квантовой механике не может быть уравнением второго порядка по времени. Из такого уравнения в противоположность выводам нерелятивистской волновой механики следует, что если задано какое-либо начальное состояние, выраженное с помощью некоторой ψ-волны, то закон сохранения полной вероятности не выполняется автоматически. Автоматическое же сохранение полной вероятности необходимо для того, чтобы могли соблюдаться общие принципы новой механики.

Дирак проследил эти соображения с железной логикой и пришел к выводу, что уравнение или уравнения релятивистской волновой механики должны обязательно быть уравнениями первого порядка по времени и что, следовательно, в силу релятивистской симметрии пространства и времени они равным образом должны быть уравнениями первого порядка по координатам пространства. Затем с помощью соображений, на которых мы не можем здесь останавливаться, он показал, что в релятивистской волновой механике волновая функция должна иметь четыре компоненты, которые подчиняются системе четырех уравнений в частных производных, которые в целом заменяют единственное уравнение распространения нерелятивистской волновой механики.

Наконец, Дирак исследовал вопрос о том, как преобразуются уравнения распространения и компоненты волновой функции при переходе от одной системы координат к другой. Он довольно красиво показал, что эти уравнения инвариантны относительно преобразования Лоренца. Это сразу сделало его теорию удовлетворительной с релятивистской точки зрения. Он нашел формулы преобразования для четырех компонент волновой функции, которые оказались не такими, как для пространственно-временного четырехвектора, а относятся, как мы покажем, к новому типу спинорных преобразований, уже встречавшихся у Паули.