Революция в физике (Новая физика и кванты)

Напомним теперь, как классическая механика решает проблему движения системы взаимодействующих частиц. Для каждой из этих частиц выписываются основные уравнения Ньютона, выражающие пропорциональность между ускорением материальной точки и действующей на нее силой. Поскольку предполагаем, что между частицами имеется взаимодействие, т.е. сила, действующая на каждую частицу, зависит от положения всех остальных частиц, то полученные таким образом уравнения образуют систему дифференциальных уравнений. Если их выписать в явном виде в прямоугольных декартовых координатах, то число этих уравнений будет равно утроенному числу частиц, ибо каждая частица имеет три координаты.

Решение этой системы уравнений, если оно возможно, дает выражение для каждой координаты как функции времени, т.е. позволяет проследить положение и движение каждой частицы с течением времени. Кроме того, из всех решений этих уравнений нужно взять только то решение, которое полностью определено, если заданы положения и скорости частиц в начальный момент времени, иными словами, если задано начальное положение и состояние движения системы. Так, оказывается, что в классической динамике систем выполняется механический детерминизм.

Не вдаваясь слишком глубоко в описание классической механики систем, мы только напомним, что уравнения движения можно во многих случаях привести к хорошо известным уравнениям Лагранжа и Гамильтона. Однако благодаря более абстрактной форме указанных уравнений движения полезно рассмотреть новое геометрическое представление этой системы. Вместо того чтобы рассматривать систему в физическом пространстве трех измерений и говорить о положении каждой ее частицы в каждый момент времени, мы можем связать координаты всех частиц и мысленно сконструировать тем самым абстрактное пространство, число измерений которого втрое превышает число частиц (причем это число измерений можно уменьшить, если существуют соотношения, ограничивающие свободу движения частиц). В этом абстрактном пространстве, носящем название конфигурационного пространства, каждое состояние системы представлено в виде точки, координаты которой равны координатам частиц системы. Эволюция системы с течением времени будет, таким образом, описываться перемещением этой изображающей точки в конфигурационном пространстве. Вся задача механики состоит в этом случае в вычислении траектории и скорости изображающей точки. Группу уравнений классической динамики можно рассматривать как уравнения движения этой точки. Итак, мы свели изучение движения множества точек в физическом трехмерном пространстве к исследованию поведения единственной точки в абстрактном конфигурационном пространстве. Механический детерминизм при этом просто выражается словами, что движение изображающей точки полностью определено, если известны ее начальное положение и скорость в конфигурационном пространстве.

Использование конфигурационного пространства становится обязательным, когда хотят применить к динамике систем теорему Якоби. Говоря языком физики, сущность этой теоремы заключается в разбиении возможных движений рассматриваемой системы на группы таким образом, чтобы в каждой группе совокупность всевозможных траекторий движения соответствовала лучам распространяющихся волн. Очевидно, что если все движущиеся частицы описывать в физическом пространстве, то такого соответствия установить невозможно просто из-за обилия траекторий. С другой стороны, его легко установить, если рассматривать конфигурационное пространство, ибо в нем каждому движению соответствует единственная траектория изображающей точки. Следовательно, в этом случае теория Якоби позволяет нам классифицировать возможные движения системы, т.е. возможные движения изображающей точки в конфигурационном пространстве, таким образом, что траектории изображающей точки, принадлежащие одному классу, представляют в последнем лучи волн, распространяющихся в смысле геометрической оптики. Уравнение Якоби, зависящее от координат всех частиц системы, т.е. от всех координат конфигурационного пространства, будет уравнением геометрической оптики для распространения этих волн в рассматриваемом многомерном пространстве. Принцип наименьшего действия оказывается в этом случае эквивалентным принципу Ферма.

Поскольку теория Якоби и принцип наименьшего действия открывают самый легкий путь для перехода от старой механики к волновой, можно было ожидать, что дальнейшее развитие волновой механики будет происходить с применением представления о конфигурационном пространстве. Именно так это и произошло. Обобщая процедуру, разработанную для уравнения распространения волны одной частицы, Шредингер сумел записать в конфигурационном пространстве уравнение распространения для ψ-функции, связанной с системой. Это уравнение построено таким образом, что если выполняется приближение геометрической оптики, то получается вновь уравнение Якоби.