Риторическая теория числа

В.Н. Левин, Вы пишите: «Следовательно, ПРЕДСТАВИТЬ ВСЕ простые числа одним набором НЕЛЬЗЯ!» В нормальных терминах утверждение звучит так: не существует алгоритма перечисления простых чисел, т.е. А(n) выдает n-е простое число, если оно есть. Утверждение опровергается предъявлением такого алгоритма. Можете сами его написать. Вообще какие могут быть разговоры о двойном отрицании и неконструктивности, когда есть алгоритм порождения объектов, куда уж конструктивнее. А на гиптезу о конечности простых чисел Евклид вообще одинарное отрицание вешает.

В.Н. Левин:

EEV, Вы пишите мне: «Вы использовали лишнюю сущность, а именно понятие “набора”, даже не потрудившись ее определить. Поэтому вывод некорректен». EEV, Вы не разглядели в термине «набор» первичного понятия МНОЖЕСТВА.

Михаил М., так где же Ваше «легкое» конструктивистское доказательство БЕСКОНЕЧНОСТИ множества простых чисел? Или ссылка на обучение под началом Маркова кажется Вам достаточной? Вы пишите: «А на гипотезу о конечности простых чисел Евклид вообще одинарное отрицание вешает». Неужели одинарное? Он пытается идти методом «от противного». Мол, представим, что истинно «А» (множество простых чисел конечно). Далее пытается НЕЯВНО ввести определение понятиям КОНЕЧНОСТИ-БЕСКОНЕЧНОСТИ, неявно противопоставляя их друг другу и предполагая, что «третьего не дано». Вы сами писали: «Основное отличие от классической логики — отказ от аксиомы, разрешающей автоматически снимать двойное отрицание. То есть в конструктивной математике “ложно, что ложно” еще не означает “истинно”, “не может не быть объекта” с какими-то свойствами еще не значит, что такой объект есть, и с ним можно что-то делать дальше. Отсюда следует отказ от безусловной истинности закона исключенного третьего — “суждение либо ложно, либо истинно”, “либо объект есть, либо его нет”». В конструктивной математике для снятия двойного отрицания необходимо указать «способ» построения объекта, для истинности суждений вида «исключенного третьего» необходимо указать способ определения какая именно из альтернатив верна «ложно» или «истинно». Вы можете возразить, мол, Евклид указывает способ построения объекта. Но разве как раз того объекта, который прямо указывает какая из «альтернатив» верна, т. е. объекта “БЕСКОНЕЧНОЕ множество простых чисел”? Отнюдь нет. Он способа построения ЭТОГО объекта (БЕСКОНЕЧНОГО множества) не приводит. Он лишь обнаруживает отрицание предположения о возможности представить КОНЕЧНОЕ множество простых чисел. Это отрицание, в парадигме конструктивистской математики, означает отсутствие способа получения такого объекта как КОНЕЧНОЕ множество всех простых чисел.

ИТОГО:

1.Нет способа получения объекта «КОНЕЧНОЕ множество всех простых чисел».

2. Нет способа получения объекта «БЕСКОНЕЧНОЕ множество всех простых чисел».

Так где же Ваше легкое конструктивистское доказательство?..

Конструктивистская Машина Тьюринга— Поста в качестве исходных аксиом имеет неконструктивистскую аксиому о бесконечном быстродействии процессора, бесконечной длине ленты, на которой записываются исходные, промежуточные данные и результаты расчетов, бесконечном размере памяти для записи (хранения) алгоритма. Если заменить эту аксиому на тезис о конечности характеристик машины Тьюринга— Поста, то мы получим БОЛЕЕ конструктивистскую теорию, для которой становятся актуальными тезисы:

К Гипотезе 1.

О конечности количества простых чисел.

Фактически это гипотеза о конечности мира, о конечности числа чисел вообще.

К Гипотезе 3.

О симметричности распределения простых чисел в ряду целых чисел.

Первые простые числа идут подряд друг за другом: 1, 2, 3. (1 ПРИНЯТО к простым числам не относить. При этом неотнесение 1 к «простым» числам является условным; основной части определения простого числа (неделимости на все числа кроме себя и единицы) единица удовлетворяет).

В парадигме конструктивистской математики можно утверждать:

Тезис 1. Для достаточно большого целого числа НЕВОЗМОЖНО проверить (доказать) свойство его делимости на любое другое число, кроме самого на себя, следовательно, мы должны считать его простым ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ. В этом смысле, ВСЕ ДОСТАТОЧНО БОЛЬШИЕ ЧИСЛА — ПРОСТЫЕ, не делимы ни на одно число, кроме самих себя. В частности, они, в этом смысле, также идут подряд как и ПЕРВЫЕ простые числа, что соответствует Гипотезе 3 Шилова.

Тезис 2. Для любых двух достаточно больших целых чисел невозможно проверить (доказать) их отличие друг от друга, т. е. мы должны по определению считать их РАВНЫМИ друг другу.

Отсюда следует:

Тезис 3. (Расширенная Гипотеза Шилова)

Множество целых чисел конечное, но открытое. Последние из них недостижимы человеческим счетом, равны друг другу (неотличимы друг от друга) и являются простыми.

Более того, истинны утверждения, что для достаточно больших чисел ОТСУТСТВУЮТ способы:

1) их записи (хранения) в памяти машины Тьюринга,

2) их сравнения друг с другом на предмет установления их равенства-неравенства,

3) их перемножения друг с другом,

4) прибавления к ним единицы.

EEV: