Самые знаменитые головоломки мира

109. Многие даже искушенные математики нередко впадают в ошибку, исходя из того, что имеются 24 отправные и 24 конечные точки. Они утверждают, что правильным ответом будет (24)² = 576 способов. Однако они проглядели разветвляющиеся пути, которые дают 252 способа достигнуть центра С и столько же способов вернуться назад к граничным W. Поэтому правильным ответом будет (252)² = 63 504 способа.

110. Если бы в сиамском аквариуме было столько рыб, сколько я получил различных ответов, то там разыгралась бы битва века!

Я склонен считать правильным следующее решение. Три маленькие рыбы отвлекают внимание каждой из трех больших рыб, а остальные 4 дьявольские рыбы в 3 мин уничтожают четвертую королевскую рыбу. Затем 5 маленьких рыб набрасываются на одну большую и убивают ее за 2 мин 24 с, пока остальные маленькие рыбы сражаются с другими большими.

Очевидно, что если бы каждой из оставшихся групп помогла еще одна рыба, они бы закончили свое дело за то же самое время, так что у каждой большой рыбы сил осталось бы ровно столько, чтобы привлекать внимание маленькой рыбы в течение 2 мин 24 с. Следовательно, если большую рыбу атакуют 7 маленьких рыб вместо одной, то им потребуется 1/7 этого времени, или 20 4/7 с.

Если распределить теперь силы маленьких рыб для атаки на оставшихся двух больших рыб (7 на одну и 6 на другую королевскую рыбу), то для уничтожения последней большой рыбы в конце 20 4/7 с потребуется усилие, с которым сможет справиться одна маленькая рыба. Но поскольку вместо одной маленькой рыбы. На последнюю королевскую рыбу набросятся все 13 дьявольских рыб, они справятся с ней за 713 этого времени, то есть за 153/91 с.

Складывая теперь все промежутки времени (3 мин, 2 мин 24 с, 204/7 с, 153/91 с), мы получим продолжительность всей битвы – 5 мин 462/13 с.

111. Согласно заданным условиям, одна монета с круглой дыркой стоит 15/11 бит, одна монета с квадратной дыркой стоит 16/11 бит и одна монета с треугольной дыркой стоит 17/11 бит. Щенка стоимостью в 11 бит можно, следовательно, купить за одну монету с квадратной дыркой и 7 монет с круглыми дырками.

112. Круг сыра делится на 2 части с помощью одного разреза, на 4 – с помощью второго, на 8 – с помощью третьего, на 15 – с помощью четвертого, на 26 – с помощью пятого и на 42 части – с помощью шестого разрезов.

[Эти числа равны максимальному количеству частей, порождаемых каждым последовательным разрезом выпуклого тела. С помощью этой последовательности нетрудно вывести следующее кубическое уравнение, выражающее максимальное число частей как функцию числа разрезов п: (п³+5п)/6+ 1= число частей. – М. Г.]

113. Вероятность того, что ни один из шести человек не возьмет свою собственную шляпу, равна 265/720. [Это получается следующим образом. Число способов, которыми можно выбрать п шляп случайным образом так, чтобы ни один человек не выбрал собственной шляпы, равно n!×(1–1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! -…+– 1/n!).

Поделив это выражение на п! (общее число способов, которыми можно выбрать п шляп), мы и получим ответ. С ростом п ответ стремится к пределу, равному 1/е, давая тем самым забавный эмпирический способ определения трансцендентного числа е. Анализ этой задачи и подобных вопросов дается в книге Ball R. Mathematical Recreations, p. 46. – M. Г.]

114. На рисунке показан единственный правильный способ расположить 8 ворон на снопах пшеницы так, чтобы никакие две птицы не оказались в одном ряду или на одной диагонали. Кроме того, сторож не сможет найти точку, с которой ему удалось бы прицелиться сразу в трех ворон.

115. «Любопытный трюк» состоит в том, что два выступа в кромке средней дыры не видны за головой осужденного! На рисунке показано, как именно следует разрезать доску.

116. Батчер Бой стоил 264 доллара и был продан за 295,68 доллара, что дало прибыль в 12 %. Вторая лошадь стоила 220 долларов и была продана за 198 долларов, так что потери составили 10 %. Общая стоимость двух лошадей составляла 484 доллара, а проданы они были за 493,68 доллара; при этом общая прибыль составила 2 %.

117. Ножницы можно освободить, продвигая конец с петлей назад вдоль двойной веревки: сначала через левое кольцо, затем через правое, далее снова через левое, а потом опять через правое. Теперь перекиньте петлю через все ножницы, и они окажутся свободными, если только в процессе работы вы не запутаете веревку, перекрутив ее неудачным образом.

118. [Независимо от способа передвижения обезьяны (быстро, медленно или прыжками) груз и обезьяна всегда будут находиться на одном уровне. Обезьяна не сможет оказаться выше или ниже груза, даже если она, отпустив веревку, станет падать вниз, а затем снова за нее уцепится.

Льюис Кэрролл ставит эту задачу в своем «Дневнике»; ее обсуждению посвящена обширная литература. – М. Г.]

119.Вы можете разделить гамак на две части, проведя 12 разрезов, как показано на рисунке.

120. Повар купил 16 яиц, но бакалейщик добавил ему еще 2 яйца, так что всего у повара оказалось 18 яиц.

121. Круглый пирог с помощью семи прямых разрезов можно разделить на 29 частей.