Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Условия задачи можно переписать в виде системы

Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 7, получим

y + 2z + 3s + 4t = 29

или (так как y = 2t)

2z + 3s + 6t = 29.

В результате сравнения второго и третьего уравнений найдем

z + s + t = 9.

Умножим это уравнение на два и вычтем из предыдущего уравнения:

s + 4t = 11.

Поскольку s и t — натуральные, t может принимать лишь два значения: t = 1 и t = 2, иначе уравнение s + 4t = 11 не выполняется. Если t = 1, то s = 7, а y = 2. Это противоречит требованию y > s. Следовательно, t = 2, s = 3, y = 4. Нетрудно найти, что x = 5, z = 4.

Ответ. 50 порций мороженого по 7 p., 40 порций по 9 p., 40 порций по 11 p., 30 порций по 13 p., 20 порций по 15 p.

18.9. Обозначим время, за которое плоты прошли путь по озеру, через x. Так как весь путь они прошли за 11,5 суток, т. е. за 276 ч, то путь AC (буквой С обозначено устье реки) — за 276 − x ч, а скорость течения реки равна ^AC/_{276 − x}.

Выразим скорость течения реки с помощью остальных условий задачи. Если пароход проходит путь от А до В за 40 ч, а путь от С до В за x ч (идет в два раза быстрее, чем с плотами), то скорость парохода вниз по течению реки равна  Аналогично его скорость вверх по течению равна . Если вычесть из первой скорости вторую, то получим удвоенную скорость течения реки. Мы пришли к уравнению

решая которое найдем: x₁ = 24, x₂ = 136. Второй корень посторонний, так как 40 − ^x/₂ и 48 − ^x/₂ становятся отрицательными, что не имеет физического смысла.

Ответ. 24 ч.

18.10. Пусть v₁, v₂ и v₃— скорости пловцов, а x − расстояние AC (рис. P.18.10).

Приравниваем времена, за которые пловцы проплыли путь AC:

Из условия встречи в точке D третьего и второго пловцов получим

а из условия встречи в точке E третьего и первого:

Так как в уравнение (4) входят v₂ и v₃, а в уравнение (5) v₁ и v₃, то уравнения (3) перепишем в виде

Преобразуем теперь уравнения (4) и (5):

и воспользуемся заменой (6). Получим систему

из которой проще исключить v₃. Найдем x = 10. Следовательно, v₃ = 1.

Ответ. 1 м/с.

18.11. Обозначим через x часть сосуда, занимаемую раствором кислоты, а объем всего сосуда примем за единицу. После того как сосуд долили q%−м раствором, количество концентрированной кислоты стало

^px/₁₀₀ + ^q(1 − x)/₁₀₀,

а новая концентрация

p₁ = px + q(1 − x) = (p − q)x + q.

Если вместо p подставить р₁, то получим р₂, аналогично можно получить р₃ и т. д. Приходим к рекуррентному соотношению

р_k = x(р_{k − 1} − q) + q.

Вычислим р₂:

р₂ = x(р₁ − q) + q = х²(p − q) + q.

По индукции легко доказать, что

р_k = x^k(p − q) + q.

Так как p_k = r, то получим уравнение

r = x^k(p − q) + q,

откуда

Ответ. где либо r > q, p > q, либо r < q, p < q.

18.12. Пусть x и y — скорости автомобиля и мотоцикла соответственно, а z — длина пути AB. Тогда первая встреча произойдет через ^z/_x + y ч после начала движения на расстоянии ^zy/_x + y от пункта В. Те же рассуждения, примененные к отрезку длиной в ^zy/_x + y, позволят найти расстояние между первым и вторым пунктами встречи. По условию это расстояние равно ^2z/₉, т. е.

^zyx/_(x + y)² = ²/₉z, или ^yx/_(x + y)² = ²/₉.

Это уравнение можно переписать так:

2x² − 5ху + 2y² = 0, т. е. 2(^x/_y)² − 5^x/_y + 2 = 0,

откуда

либо ^x/_y = 2, либо ^x/_y = ½. (7)

Очевидно, что эти отношения дают симметричные решения. Если предположить, что скорость автомобиля больше скорости мотоцикла, то x = 2y.

Используем оставшиеся условия задачи. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, т. е. равнялась бы (x − 20) км/ч, то первая встреча произошла бы через 3 ч после начала движения. Получаем уравнение

^z/_x + y − 20 = 3.    (8)

Мотоцикл до встречи преодолел бы в этом случае расстояние в 3y км, а расстояние между пунктами первой и второй встреч составило бы ^3yx/_x + y − 20. Получаем третье уравнение:

^{3y(x − 20)}/_x + y − 20 = 60.   (9)

Подставим в это уравнение x = 2y. Получим квадратное уравнение, корнями которого являются

y₁ = 20 + 10√2, y₂ = 20 − 10√2.

Второе значение не подходит, так как тогда x₂ < 20.

Итак,

y = (20 + 10√2) км/ч, x = (40 + 20√2) км/ч,

а из уравнения (8) найдем z = (120 + 90√2) км.

Ответ. (120 + 90√2) км.

18.13. Пусть пассажир опоздал на поезд на t ч, проехал на такси x км, а на автобусе y км. Скорость поезда обозначим через u. Тогда путь до встречи с поездом пассажир проедет за  ч, а поезд пройдет этот путь за ^x + y/_u ч. Учтя опоздание пассажира, получим

Поездка на такси и автобусе обошлась пассажиру в (ax + А) p. Если бы он ехал все время на такси, то это стоило бы (ax + А − В) p. и он догнал бы поезд, проехав ^ax + А − В/_a км. Приравнивая времена, за которые этот путь прошел поезд и проехал догонявший его пассажир, получим второе уравнение:

Третье уравнение очевидно:

Записав его в виде

найдем

Приравниваем выражения для t из уравнений (10) и (11). Получим

т. е.

Поскольку y уже найден, можно вычислить u:

Чтобы задача имела решение, скорость поезда должна быть положительной. Так как v₁ > v₂ и А > В, то из неравенства

следует, что

Ответ.