Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Математическое определение непременно строится по принципу выделения частного понятия из общего с помощью конкретного отличительного признака. Так поступают в биологии, где род — более широкое понятие, чем вид, а определение вида дается через определение рода (родовое понятие) путем указания видового отличия. Математическое определение должно непременно содержать и родовое понятие, и видовое отличие.

Приведенное выше определение числа 2 этому требованию не удовлетворяет, ибо слова «то общее» нельзя считать родовым понятием — оно не очерчивает конкретное множество объектов.

Определения натурального числа и точки на первый взгляд имеют форму математических определений. Натуральное число было определено через более общее понятие числа, а точка — через более широкое понятие трехмерного геометрического объекта. Однако в этом случае возникает вопрос: что такое число и что такое трехмерный геометрический объект? Эти два понятия нельзя избрать в качестве базовых, ибо они слишком сложны, чтобы им можно было дать разумное интуитивное толкование. Понятие числа в математике достаточно изящно конструируется из понятия натурального числа путем последовательного расширения наших представлений о числе: вводятся отрицательные целые числа и нуль, рациональные числа, иррациональные числа. Точно так же понятие геометрического объекта предполагает большое разнообразие конкретных реализаций, конструируемых посредством определений из простейших, т. е. элементарных понятий, какими являются точка, прямая, плоскость. K тому же мы не обязаны ограничиваться рассмотрением только трехмерного геометрического пространства, в котором плоскость имеет два измерения, прямая — одно, а точка имеет нулевую размерность. Если мы решимся исследовать пространства четырех измерений и более, то размерности точки, прямой, плоскости останутся неизменными.

Приведем примеры того, как в математике определяют новые понятия (они набраны прописными буквами) и укажем в каждом из определений родовое понятие (полужирный шрифт) и видовое отличие (курсив).

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ — четырехугольник, в котором две противоположные стороны равны и параллельны.

ТРАПЕЦИЯ — четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны.

ЧЕТНЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, кратные числу 2.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА — числа вида ^p/_q, где p и q — целые числа, q ≠ 0.

Рассмотрите самостоятельно определения предела и производной.

У стандартных математических задач есть одно важное свойство: для их решения не требуется озарения. Нет необходимости долго размышлять над такой задачей в поисках подхода к ее решению. То, что обычно следует предпринимать, вообще говоря, известно заранее. Нужно только это разумно и эффективно осуществить.

Начинают обычно с перевода содержательных условий задачи на язык математических символов и соотношений. А когда это сделано, остается позаботиться об использовании всех условий задачи. Именно всех условий, ибо в правильно поставленной математической задаче лишних условий быть не может. Поэтому каждое из условий непременно должно быть использовано в процессе решения.

Часто спрашивают: обязательно ли стремиться к полной формализации условий задачи? Хотя среди преподавателей еще бытует такая традиция, делать это не только не обязательно, но часто и не нужно. Увлечение формальной записью может внешне неоправданно усложнить задачу, сделать ее трудно обозримой и даже отпугивающей. Соблюдать меру здесь очень уместно. А там, где появляется чувство меры, наука хотя бы частично уступает свои права искусству. Вот почему математики так высоко ценят изящные доказательства и с большой неохотой ведут длинные и монотонные выкладки. Увы, в реальной жизни без них не обойтись.

А теперь рассмотрим два простых примера.

Первый показывает, насколько результат обыденного мышления может расходиться с результатом, полученным математически.

Задача 1. На склад привезли 100 кг ягод влажности 99%. Ягоды полежали и усохли. Их влажность стала 98%. Сколько килограммов ягод стало после усушки? Ответ дать с точностью до 1 кг.

Последнее замечание неявно подсказывает неверный вывод: поскольку влажность стала на 1%-й пункт ниже, а всего было 100 кг, то и потери массы составили где-то около 1 кг (числа 100, 99 и 98 мало отличаются одно от другого). Такой вывод возникает как следствие применения при решении математической задачи неоправданной аналогии.

А теперь поступим так, как должен поступить математик.