По воспоминаниям внучки Николая Александровича, Светланы Георгиевны Григ, дед ее был уроженцем Тульской губернии.
Получив прекрасное образование в московском реальном училище, Квашнин учился в Российской императорской академии художеств.
По окончании академии поступил на службу в Московское архитектурно-строительное управление и участвовал в строительстве Павелецкого и Казанского вокзалов в Москве, Московской окружной железной дороги, здания Московской городской Думы, мостов, водокачек, гостиницы «Метрополь».
Вместе с группой художников и архитекторов достраивал здание Третьяковской галереи.
В конце XIX века родители Николая Александровича обосновались на Тверской земле, в местечке Столопово, близ села Ивановское, на левом берегу речки Шостки. Сюда приехала и семья самого H.A. Квашнина. Здесь в 1896 году у него родилась дочь. Семья решила строиться в километре от Столопова. Имение молодого Квашнина стали называть Новое Столопово, сам же он называл его Малым хутором. Инженер-архитектор Николай Александрович Квашнин строил имение еще и с тем, чтобы там устроить школу для деревенской молодежи. Подобрав талантливых людей из народа, которые владели столярным ремеслом, он начал обучать их резьбе по дереву. В школе Квашнина учили не только этому. В каждом из шести домов усадьбы (имеющих, кстати, свою неповторимую архитектуру) шло обучение по разным направлениям. В одном из домов преподавали общеобразовательные предметы и рисование. Уроки здесь вела жена Квашнина – Евгения Николаевна. Невдалеке от этого дома, в избушке старшего мастера школы Петра Васильевича Морозова, учили резьбе по дереву и искусству его обработки.