Сферландия

— Я уже сказал, — ответил я, — что ваше предложение необычайно заинтересовало меня. Я приложу все усилия, чтобы решить проблему, а в случае неудачи надеюсь, что вы не станете меня упрекать.

— Упрекать? — воскликнул мой гость. — Ни за что и никогда! Может быть, совместными усилиями нам удастся найти решение! Ум хорошо, а два лучше! К тому же, работая над одной проблемой, мы могли бы обсуждать ее и постепенно прийти к решению, хотя это и очень трудно.

— Могу я просить вас еще кое о чем? — задал я гостю последний вопрос. — Не намекнете ли вы, с какого рода задачей нам придется иметь дело?

— Охотно, — согласился доктор Пункто. — Не могли бы вы сказать, чему равна сумма углов треугольника?

Неожиданный вопрос озадачил меня, но я все же ответил:

— Разумеется, 180°.

— Всегда? — спросил доктор Пункто и с этими словами исчез за дверью.

17. УДИВИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Последнее замечание моего нового знакомого заставило меня призадуматься. Я разговаривал с ним довольно долго, у меня создалось впечатление, что это вполне разумный многоугольник, и вдруг этот вопрос, эти странные сомнения…

Можно ли быть уверенным в том, что на вопрос доктора Пункто в ста случаях из ста следует отвечать утвердительно? Всегда ли сумма углов треугольника равна 180°? Как можно усомниться в этом? Случалось ли кому-нибудь видеть треугольник с иной суммой углов? Как можно представить себе такой треугольник? Впрочем, доказать, что сумма углов треугольника равна 180°, совсем просто. Не лучше ли мне отказаться от участия в сомнительной затее моего нового знакомого? Потом отделаться от него будет гораздо труднее. А что если я попытаюсь разыграть из себя маньяка, одержимого какой-то другой бессмысленной навязчивой идеей, и заговорю с доктором Пункто о ней?

За этими размышлениями я провел бессонную ночь. Я намеревался придумать какую-нибудь отговорку, сослаться на неожиданный срочный вызов, в крайнем случае сказать, что умер кто-то из членов семьи, чтобы любым путем уклониться от встречи с тем, кто завтра с самого раннего утра будет стоять у моей двери. Однако стоило мне лишь увидеть вчерашнего гостя, как я вновь ощутил к нему такое доверие, что, не колеблясь, принял приглашение отправиться вместе с ним, о чем до сих пор не жалею.

Место, куда привел меня доктор Пункто, находилось за городской чертой. Наблюдательные пункты, расположенные на большом расстоянии друг от друга, образовали там триангуляционную сеть. Мы находились на наблюдательном пункте А. Оттуда при помощи новейшего прибора для измерения углов можно было определить углы между направлениями АВ, AC, AD, АЕ и AF. Мой провожатый попросил меня измерить угол между направлениями на пункты С и D. Я с удовольствием выполнил его просьбу, а заодно измерил и четыре остальных угла.

— Сумма всех пяти измеренных мной углов, естественно, должна быть равна 360°, — заметил я.

— Ну что же, проверим сначала сумму, — сказал мой новый друг (почему бы мне, в самом деле, не называть так доктора Пункто?).

Триангуляционная сеть — пространство, разбитое на треугольники.

Мы сложили полученные величины углов и получили в результате величину, которая хотя и очень незначительно, но все же отличалась от 360°.

— Разумеется, ровно 360° не удается получить никогда, — заметил мой спутник, — ибо любое измерение, сколь бы тщательно мы его ни производили, неизбежно содержит некую малую ошибку. Она так и называется — ошибка измерения. Поэтому и сумма пяти измеренных углов никогда не бывает в точности равна 360°: она то меньше, то больше. У опытного наблюдателя отклонения меньше, у неопытного больше, но даже тот, кто производит измерения особенно тщательно, неизбежно совершает некоторую ошибку, хотя и очень малую.

— Об этом вы могли бы и не рассказывать, — заметил я. — Что существует ошибка измерения, мне хорошо известно.

— Тогда вам должно быть понятно, — продолжил свои объяснения мой собеседник, — что в том случае, когда одно и то же измерение приходится повторять несколько раз подряд, результаты получаются разными: одни больше, другой меньше.

— Разумеется, — согласился я, — но может случиться и так, что результаты нескольких последовательных измерений одной и той же величины окажутся одинаковыми…

— А затем, — подхватил мой друг, — снова появится меньшее или большее значение. И добавил:

— До сих пор все, о чем мы с вами говорили, было понятно. Вот теперь и начинается самое удивительное. Если мы перейдем в пункт С и измерим угол между направлениями CD и СА, а затем перейдем в пункт D и измерим угол между направлениями DC и DA и, наконец, вычислим сумму всех трех измеренных нами углов треугольника ACD, то…

— У нас должно получиться 180°, — закончил я фразу. — Вычисленная нами сумма окажется не в точности равной 180°, а будет отличаться от 180° либо в большую, либо в меньшую сторону на малую величину.