Шаги за горизонт

Отыскание общих признаков может при известных обстоятельствах оказаться весьма важным познавательным актом. Уже на первых этапах своей истории человек должен был, например, осознать, что сравнение, скажем, трех коров с тремя яблоками указывает на их общую характеристику, а именно ту, которая выражается словом «три». Формирование понятия числа составляет решающий шаг, выводящий человека из той сферы мира, которая дана ему непосредственно в ощущениях, и погружающий его в сплетение рационально постигаемых структур мышления. Утверждение, что два ореха и два ореха составляют вместе четыре ореха, остается в силе, даже если мы заменим слово «орех» словом «хлеб» или названием какого угодно другого предмета. Его, следовательно, можно обобщить и облечь в абстрактную форму: два и два — четыре. Это было важным открытием. По-видимому, уже достаточно рано люди осознали присущую понятию числа особую способность упорядочивать, а это привело к тому, что некоторые числа стали толковать символически. С точки же зрения современной математики отдельные числа не так важны, как сама операция счета. Именно эта операция порождает непрерывный ряд натуральных чисел и внутренне предполагает все соотношения, изучаемые, например, в теории чисел. Освоив счет, люди сделали решающий шаг в сферу абстракции, был открыт путь, ведущий к математике и математическому естествознанию.

Теперь мы уже в состоянии перейти к изучению феномена, с которым мы постоянно будем встречаться в дальнейшем на разных уровнях абстрактности в математике или в естественных науках Нового времени. По отношению к процессу развития абстрактного мышления в науке его можно было бы назвать чем-то вроде прафеномена,[88] — хотя Гёте, разумеется, не использовал бы это изобретенное им выражение в подобном контексте. Феномен этот можно назвать, положим, развертыванием абстрактных структур. Понятия, первоначально полученные путем абстрагирования от конкретного опыта, обретают собственную жизнь. Они оказываются более содержательными и продуктивными, чем можно было ожидать поначалу. В последующем развитии они обнаруживают собственные конструктивные возможности: они способствуют построению новых форм и понятий, позволяют установить связи между ними и могут быть в известных пределах применимы в наших попытках понять мир явлений.

Например, из понятия счета и связанных с ним простых операций вычисления развилась в дальнейшем — отчасти в Античности, отчасти в Новое время — сложная арифметика и теория чисел. Эти науки открыли, по сути дела, только то, что с самого начала было заложено в понятии числа. Далее, число и развитое на его основе учение о числовых отношениях позволили измерять и сравнивать отрезки. Отсюда возникла наука геометрии, которая в концептуальном отношении выходит за пределы учения о числе. Уже попытка пифагорейцев положить теорию чисел в основание геометрии натолкнулась на трудности, связанные с отношением несоизмеримых отрезков. В результате они должны были расширить совокупность известных чисел, они были в какой-то мере вынуждены изобрести иррациональное число. Двигаясь дальше, греки пришли к понятию континуума и к знаменитым парадоксам, которые впоследствии были изучены философом Зеноном. Мы, впрочем, не собираемся здесь углубляться в трудности, с которыми было связано развитие математики, нам важно просто показать, какое богатство форм заложено в понятии числа и может быть в нем раскрыто.

Итак, абстрагирование может происходить следующим образом: сформированное вначале абстрактное понятие начинает жить собственной жизнью, оно дает начало новым формам или упорядочивающим структурам, изобилие которых превосходит все ожидания. Впоследствии же эти структуры могут оказаться полезными в понимании явлений окружающего мира.

В связи с этим основным феноменом разгорелась пресловутая полемика о том, что же, собственно, является объектом математики. Вряд ли можно сомневаться в том, что в математике мы имеем дело с настоящим познанием. Но познанием чего? Описываем ли мы в математике нечто объективно сущее, нечто такое, что в каком-то смысле существует независимо от человека, или же математика представляет собой всего лишь выражение способности человеческого мышления? Не являются ли выводимые в математике законы просто утверждениями о структуре человеческого мышления? Я не намерен заниматься здесь этими трудными проблемами всерьез, хочу лишь высказать несколько соображений, подтверждающих объективный характер математики.