Шанс есть! Наука удачи, случайности и вероятности

Наша интуиция подвергается еще более тяжким испытаниям, когда речь заходит о совпадениях. Вы приходите в ближайший бассейн, и парень за стойкой наугад берет ключ из коробки, где их полно. Пройдя в раздевалку, вы с облегчением обнаруживаете, что задействованы лишь очень немногие ящики… и тут выясняется, что у трех посетителей ящики рядом с вами, и вы хором извиняетесь, когда соседние дверцы с грохотом ударяются друг о друга. Или, скажем, вы единственный раз в жизни прилетели на Гавайи – и вдруг столкнулись там с венгром, с которым вместе работали в Гарварде. Или вы проводите медовый месяц в Ирландии… и вместе со своей молодой женой встречаете на безлюдном пляже вашего директора департамента вместе с его молодой женой. Такое как раз случилось с Джеком.

Подобные совпадения кажутся ошеломляющими, поскольку мы ожидаем, что случайные события будут распределены равномерно. Вот почему статистические сгустки событий удивляют нас. Мы думаем, что «типичный» набор выпавших номеров в Британской национальной лотерее – что-нибудь вроде «5, 14, 27, 36, 39, 45», а набор «1, 2, 3, 19, 20, 21» кажется нам куда менее вероятным. На самом деле вероятность выпадения у двух этих наборов совершенно одинакова – 1 к 13 983 816. Более того – последовательности из шести случайных чисел будут даже с большей вероятностью «слипаться», нежели «не слипаться».

Откуда мы это знаем? Специалисты по теории вероятностей решают такие проблемы при помощи так называемых выборочных пространств. Выборочное пространство (пространство выборок, пространство элементарных событий) содержит в себе не только событие, которое нас занимает, но и все возможные альтернативы. К примеру, для броска игральной кости выборочное пространство – это «1, 2, 3, 4, 5, 6». Для Британской лотереи выборочное пространство – это множество всех последовательностей 6 различных целых чисел от 1 до 49 включительно. Каждому событию в выборочном пространстве присваивается числовое значение, именуемое его вероятностью и соответствующее тому, насколько возможно данное событие. При честной игре в кости все такие значения равны, и вероятность выпадения каждой цифры составляет одну шестую. То же самое и для лотереи, но там вероятность выпадения каждого номера – 1/13 983 816.

Полезно представить себе размеры выборочного пространства, чтобы оценить, таким ли удивительным является кажущееся совпадение. Вспомним совпадающее время в «Формуле-1». Гонщики высшего класса обычно все мчатся по трассе примерно с одинаковой скоростью, так что логично предположить, что три лучших результата будут отличаться друг от друга не более чем на одну десятую секунды. Если точность измерения составляет одну тысячную секунды, на интервале в одну десятую у нас 100 возможных результатов для каждого спортсмена: этот список и определяет наше выборочное пространство. Предположим для простоты, что вероятность каждого результата здесь одна и та же. Тогда существует вероятность 1/100, что второй гонщик придет в такое же время, что и первый, и вероятность 1/100, что третий придет в то же время, что и двое остальных, а значит, общая оценка вероятности совпадения всех трех результатов (получаемая путем перемножения двух вероятностей) составит 1/10 000. Достаточно малая величина, чтобы удивиться, но все-таки недостаточно низкая, чтобы так уж поражаться. Здесь примерно те же шансы, что и на попадание мяча в лунку с ти-бокса в гольфе.

Подобные оценки помогают объяснять фантастические совпадения, о которых любят писать в газетах: скажем, когда в бридже образуется perfect hand (идеальный расклад), при котором каждый игрок собирает по 13 карт – от двойки до туза. В каждой отдельной партии шансы для такого события исчезающе малы. Но каждую неделю во всем мире играется несметное число партий в бридж. Это число столь огромно, что за каждые несколько недель в ходе всех сыгранных партий обходится все выборочное пространство. Иными словами, следует ожидать, что хоть где-нибудь да выпадет идеальный расклад, и будет он выпадать в полном соответствии со своей малой, но все же ненулевой вероятностью.

Впрочем, использование выборочных пространств не всегда совсем уж прямолинейно. Статистики предпочитают иметь дело с так называемым очевидным выборочным пространством. К примеру, для вопроса об израильских пилотах истребителей они, конечно, включили бы в выборочное пространство всех детей израильских пилотов истребителей. Но это был бы неверный выбор. Почему? Мы зачастую склонны недооценивать (занижать) размер выборочного пространства. Потому-то совпадения и кажутся нам столь удивительными, хотя на самом деле ничего удивительного в них нет. Здесь все сводится к ключевому фактору, который называется «избирательным сообщением результатов» и который традиционная статистика, в общем-то, как правило, склонна игнорировать.