Силы притяжения, действующие на тело внутри диска

Что интересно и даже удивительно, при учёте "внешних слоёв", обручей такого диска график силы Fx довольно долго растёт почти по закону параболы, а вблизи края диска — скорость роста резко возрастает. Это означает, что сила притяжения внешних частей диска наружу буквально "подавляет" силу притяжения внутренних дисков. Для сравнения построим график сил для диска с гиперболической функцией плотности, плотности, которая убывает от центра диска к его периферии — рис. 2.2.

Для такого частного, специфического распределения плотности диска кривая вращения приобрела вид, явно отличающийся от кеплеровского, рис. 2.3.

Рис. 2.3. Диск с гиперболической функцией плотности имеет кривую вращения, приближающуюся к наблюдаемой кривой вращения галактики Млечный Путь

Начальный участок графика плотности на рис. 2.2 и рис. 2.3 уходит по гиперболе далеко вверх. Его уравнение

Разумнее было предположить, что плотность ρ₀ неизменна не только в точке, а на некотором интервале начального участка, в центральной части диска. После корректировки, установки плотности ρ₀ на таком участке график приобрёл такой вид рис. 2.4.

Неизменное значение плотности было до r = 0,59 включительно. Внешнее, приблизительное сходство графика с кривой вращения Млечного Пути, несомненно. А если изменить плотность на другом интервале радиусов? Попытки точечного изменения плотности показали, что прямой, пропорциональной связи между графиком плотности и кривой вращения нет. Каждый изгиб графика плотности, изгиб в любой его точке приводит к изменению кривой вращения также и в других её точках.

Рис. 2.4. Диск с гиперболической функцией плотности и отсечённым верхом, максимумом имеет кривую вращения, довольно сильно приближенную к наблюдаемой кривой вращения галактики Млечный Путь

Рис. 2.5. Небольшой выступ на графике плотности ведёт к сильному искажению, всплеску на кривой вращения

Небольшая площадка в области r = 4,5 привела к довольно серьёзной деформации кривой вращения. Пробуем скачкообразно изменить плавность изменения плотности в конце графика, после r = 8.

Плотность была сформирована фактически из двух интервалов (скачок на 8). До 8 показатель степени в уравнении (2.1) n = 0,5, после 8 показатель n = 0,3. Пик на кривой вращения оказался весьма крутым. На графике силы Fx этот скачок существенно меньше, что объяснимо его квадратичной зависимостью. Заметим, что график плотности в конце диска имеет ненулевое значение.

Рис. 2.6. Ступенька на графике плотности ведёт к сильному искажению, пику на кривой вращения

Считая, это не совсем верно, вносим небольшую корректировку в уравнение плотности, сделав её значение на краю диска равной нулю

Формируем новый интервал n = 0,45 после r = 8 и строим диаграммы. Скачок привел к немного уменьшенному эффекту, но по-прежнему с заметным пиком на кривой вращения.

Рис. 2.7. Пик на кривой вращения возникает при любой, даже самой малой ступеньке на графике плотности

Эффекты явно вызваны скачком плотности. Пробуем заменить скачок в r = 8 плавным переходом и для сравнения добавляем скачки на r = 5 и на r = 9,2.

Рис. 2.8. Плавный изгиб, переход на графике плотности ведёт к такому же плавному изгибу на кривой вращения

Просматривается закономерность: скачки плотности всегда приводят к появлению пиков на кривой вращения. Напротив, плавный переход на функции плотности приводит к такому же плавному изгибу кривой вращения. Для новой проверки делаем в области r = 5 параболическую выпуклость на функции плотности. С полученной функцией плотности фрагмент кривой вращения приобрел вид

Рис. 2.9. Плавный параболический изгиб на графике плотности привёл к значительному, но плавному изгибу на кривой вращения

На графике видно, что в точке излома функции плотности на кривой вращения также образуется заметный излом. Но плавность изменения функции плотности по-прежнему приводит к плавному изменению кривой вращения. При этом можно предположить, что на интервале неизменности функции плотности кривая вращения растёт. Общая тенденция к уменьшению значения плотности ведёт к такому же уменьшению и величины скорости на кривой вращения.

3. Подбор функции плотности

Можно отметить, что использование гладких аналитических кривых для функции плотности даёт сглаженное, плавное приближение к кривой вращения Млечного Пути, её графику, формирует достаточно плавную кривую на всём её протяжении. Иначе говоря, переменная плотность позволяет получить кривые вращения с различным уклоном. Таким образом, следует предположить, что можно построить кривую вращение любой формы, в том числе, и максимально похожую на кривую вращения галактики Млечный Путь. В самом деле, спиральный диск галактики вполне можно рассматривать как сплошной, но имеющий переменную плотность вещества.