Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

Николай Конон Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

Введение

Известны многочисленные свойства ряда натуральных чисел. Одно из них состоит в том, что для любого числа на числовой оси найдется пара чисел, отстоящих слева и справа на одинаковое числовое расстояние от указанного числа. Данное очевидное утверждение исходит из самой природы ряда натуральных чисел, заключающееся в том, что каждое следующее число ряда формируется путем прибавления единицы к текущему числу. Таким образом, уже число 2 имеет пару чисел в составе 1 и 3, отстоящих от числа 2 влево и право ровно на единицу. А далее с увеличением самого числа, оно будет иметь хотя бы одну пару чисел, отстоящих от него на единицу. Указанное свойство и будет исследоваться в настоящей работе с целью использования при рассмотрении сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера [1].

1. Симметричные пары чисел ряда натуральных чисел

Рассмотрим множество целых неотрицательных чисел, таких, которые включают целые положительные числа из ряда натуральных чисел и добавленное в данное множество число ноль, т.е. N⁺₀ = N⁺U {0} [1].

Исследуем числовую ось натурального ряда N⁺₀(рис. 1)

N⁺₀ = {0 1 2 3 4 5 6 7 8 …….…a……..n……..b ………………… k–1 …k}

Рис. 1

Выделим для любого числа n, начинающегося с числа 1 пару чисел a и b (см. рис. 1), при чем, пара чисел a и b соответствуют условию, a < b, такое, что выполняется следующее равенство:

n – a = b – n. (1.1)

Назовем указанную пару чисел a и b, отвечающую условию (1.1), симметричной парой любого натурального числа n.

Дальнейшие исследования ряда натуральных чисел N⁺₀показывает, что указанная пара чисел a и b под условием равенства (1.1) обладает интересными и важными свойствами, а именно:

1) Числа a и b равноудалены от числа n слева и справа на числовое расстояние ?.

2) Числовое расстояние ?, на которое равноудалены числа a и b от числа n равно:

? = n – a = b – n. (1.2)

3) Из выражения (1.2) получаем:

a = n – ?; b = n + ?. (1.3)

4) При этом из выражения (1.2) также имеем:

n = a + ?= b – ?. (1.4)

5) Из выражения (1.3) следует, что сумма симметричной пары чисел a и b является четным числом и равна

a + b = 2n. (1.5)

6) Из выражения (1.3) также следует, что разность пары чисел a и b также является четным числом и равна

b – a = 2?. (1.6)

Назовем эту разность (1.6) размахом симметричной пары.

7) Из выражения (1.6) вытекает

? =(b – a)/2. (1.7)

8) Можно утверждать, и это очевидно, что количество симметричных пар a и b на числовой оси равно значению n.

Важно исследовать следующий вопрос, в каких пределах изменяется числовое расстояние ?.

Для этого обратимся к числовой оси (рис.1) и построим таблицу 1 множеств симметричных пар при разных значениях n.

Таблица 1

Числоn

Симметричная пара чисел {(a, b)} числаn

Числовое расстояние ?

1

{(0,2)}

1

2

{(1,3),(0,4)}

1,2

3

{(2,4),(1,5),(0,6)}

1,2,3

4

{(3,5),(2,6),(1,7),(0,8)}

1,2,3,4

.

……………….

………

n

{(n–1, n+1), (n–2, n+2),…… (1, n+n-1), (0, n+n)}

1,2,3,.…n–1,n

где a и b – симметричные пары для числа n.

Очевидно, и исходя из свойств натуральных чисел, что числовое расстояние ?, равное половине размаха симметричной пары (см. 1.7), изменяется от 1 до n, и по значению не больше самого числа n.

Назовем числовое расстояние ? шагом симметричной пары (шагом симметрии), который меняется

? = (1,2,3,……… n). (1.8)

Из свойства 6 и выражения (1.6), очевидно, что размах симметричной пары равен удвоенному значению шага симметрии.

Исходя из данного определения и исследованных выше свойств симметричных пар, сформулируем следующую лемму.

Лемма 1: Любое натуральное число n, начиная с числа 1, имеет симметричные пары в количестве, равном самому значению натурального числа.

Доказательство. Из свойств натуральных чисел N⁺₀известно, что они являются арифметической прогрессией, такой при которой любое натуральное число можно записать в виде

n_i+1 = n_i+ 1, (1.9)

Исходя из вышесказанного в (1.9) можно записать

n_i+? = n_i+ ?, (1.10)

где ? число равное 1, 2, 3.….

Тогда можно записать, что и

n_i-? = n_i – ?. (1.11)

Отсюда имеем

n_i= n_i-?+ ?. (1.12)

Следовательно, из (1.8) и (1.9) получаем

n_i – n_i-? = n_i+? – n_i = ?. (1.13)

Далее если принять n_i+? = b, n_i-? = a, n_i = n, то в новых обозначениях можно записать

n – a = b – n = ?. (1.14)

Таким образом, мы получили выражение (1.2), откуда следует (1.3), т.е.

a = n – ?; b = n + ?.

Ввиду того, что ? = 1, 2, 3.…. n, получаем количество пар a и b равное n. Так как указанные пары удовлетворяют свойствам 1) – 8), следует, что они симметричны, а это и доказывает лемму.